외접하며 도는 원

원 $C _{n}$의 중심을 $( x _{n} , y _{n} )$이라 하면 $x _{1} = 1$ $x _{2} = x _{3} = 1 - ( 1 + 2 )$ $x _{4} = x _{5} = 1 - ( 1 + 2 ) + ( 3 + 4 )$ $x _{6} = x _{7} = 1 - ( 1 + 2 ) + ( 3 + 4 ) - ( 5 + 6 )$ $x _{8} = x _{9} = 1 - ( 1 + 2 ) + ( 3 + 4 ) - ( 5 + 6 ) + ( 7 + 8 )$ ⋮ 정수 $m$에 대하여 $- \left\{ ( 4 m - 3 ) + ( 4 m - 2 ) \right\} + \left\{ ( 4 m - 1 ) + 4 m \right\} = 4$이다. ∴ $x _{4k}$$=$$1 + 4 k$ $y _{1} = y _{2} = 1$ $y _{3} = y _{4} = 1 - ( 2 + 3 )$ $y _{5} = y _{6} = 1 - ( 2 + 3 ) + ( 4 + 5 )$ $y _{7} = y _{8} = 1 - ( 2 + 3 ) + ( 4 + 5 ) - ( 6 + 7 )$ ⋮ 정수 $m$에 대하여 $\left\{ ( 4 m - 4 ) + ( 4 m - 3 ) \right\} - \left\{ ( 4 m - 2 ) + ( 4 m - 1 ) \right\}$$= - 4$이다. ∴ $y _{4k} = - 4 k$ (∵ $1 =$$0 + 1$) ∴ $( x _{4k} , y _{4k} )$$= ( 1 + 4 k , - 4 k )$ 원 $C _{40}$는 중심이 $( 41 , - 40 )$이고 반지름이 $40$인 원이므로 원의 내부는 모두 제$4$사분면에 포함된다.

따라서 원 $C _{n}$의 중심이 원 $C _{40}$의 내부에 있으려면 원 $C _{n}$의 중심은 제$4$사분면에 있어야 한다. 즉, $n = 4 k$($k$는 자연수)이어야 한다. 이때, 원 $C _{n}$의 중심과 원 $C _{40}$의 중심과의 거리는 원 $C _{40}$의 반지름 $40$보다 작다. 따라서 구하는 원의 개수는 점 $( 1 + 4 k , - 4 k )$과 점 $( 41 , - 40 )$의 거리가 $40$보다 작도록 하는 자연수 $k$의 개수이다. $\displaystyle \sqrt{( 4 k - 40 ) ^{2} + ( - 4 k + 40 ) ^{2}} < 40$에서 $( k - 10 ) ^{2} < 50$ $\displaystyle 10 - \sqrt{50} < k < 10 + \sqrt{50}$ $\displaystyle 7 < \sqrt{50} < 8$이므로 위 부등식을 만족시키는 $k$는 $3$, $4$, ⋯, $17$이다. 따라서 구하는 원의 개수는 $15$개다.