공통수학2평면좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

외분점과 삼각형 넓이

문제

좌표평면 위의 두 점 A(2,3)\mathrm{A} ( 2 , 3 ), B(0,4)\mathrm{B} ( 0 , 4 )에 대하여 선분 AB\mathrm{AB}를 m:nm : n(m>n>0m > n > 0)으로 외분하는 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. 삼각형 OAQ\mathrm{OAQ}의 넓이가 1616일 때, nm\displaystyle \frac{n}{m}의 값은? (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [4점] ①38\displaystyle \frac{3}{8}②12\displaystyle \frac{1}{2}③58\displaystyle \frac{5}{8}④34\displaystyle \frac{3}{4}⑤78\displaystyle \frac{7}{8}

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④

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해설

[출제의도] 외분을 활용하여 문제해결하기

−2nm−n\displaystyle \frac{- 2 n}{m - n} 4m−3nm−n\displaystyle \frac{4 m - 3 n}{m - n}

삼각형 OAQ\mathrm{OAQ}의 넓이가 1616이고, 삼각형 OAB\mathrm{OAB}의 넓이가 12×4×2=4\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4이므로 삼각형 OBQ\mathrm{OBQ}의 넓이는 1212이다. 삼각형 OBQ\mathrm{OBQ}의 밑변을 선분 OB\mathrm{OB}로 하면 OB‾=4\displaystyle \overline{\mathrm{OB}} = 4이므로 높이는 66 점 Q\mathrm{Q}의 xx좌표는 −2nm−n\displaystyle \frac{- 2 n}{m - n}이므로 ∣−2nm−n∣\displaystyle \left| \frac{- 2 n}{m - n} \right|=6= 6 ∴\therefore −2nm−n\displaystyle \frac{- 2 n}{m - n}=−6= - 6 (∵\because m>n>0m > n > 0) 따라서 4n=3m4 n = 3 m이므로 nm=34\displaystyle \frac{n}{m} = \frac{3}{4} [다른풀이] 삼각형 OAQ\mathrm{OAQ}의 넓이가 1616, 삼각형 OAB\mathrm{OAB}의 넓이는 44이므로 삼각형 OBQ\mathrm{OBQ}의 넓이는 1212이다. 삼각형 OAB\mathrm{OAB}와 삼각형 OBQ\mathrm{OBQ}는 각각 선분 AB\mathrm{AB}와 선분 BQ\mathrm{BQ}를 밑변으로 할 때 높이가 같으므로 두 삼각형의 밑변의 길이의 비는 두 삼각형의 넓이의 비와 같다. ∴\therefore AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}::BQ‾\displaystyle \overline{\mathrm{BQ}}=4:124 : 12=1:3= 1 : 3 ∴\therefore AQ‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AQ}}}::BQ‾\displaystyle \overline{\mathrm{BQ}}=4:3= 4 : 3=m:n= m : n 따라서 nm=34\displaystyle \frac{n}{m} = \frac{3}{4}

태그

#외분점#넓이의 비

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