외분점과 무게중심

[출제의도] 삼각형의 무게중심과 관련된 문제를 해결한다. 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 좌표를 각각 $\left( \mathit{a} _{1} , b _{1} \right)$, $\left( \mathit{a} _{2} , b _{2} \right)$ 라 하면 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 무게중심의 좌표가 $\left( 5 , 4 \right)$이므로 $\displaystyle \frac{0 + a _{1} + a _{2}}{3} = 5$, $\displaystyle \frac{0 + b _{1} + b _{2}}{3} = 4$ $a _{1} + a _{2} = 15$, $b _{1} + b _{2} = 12$ …… ㉠ 선분 $\mathrm{OA}$를 $2 : 1$로 외분하는 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{2 a _{1} - 0}{2 - 1} , \frac{2 b _{1} - 0}{2 - 1} \right)$, 즉 $\left( 2 a _{1} , 2 b _{1} \right)$ 마찬가지로 선분 $\mathrm{OB}$를 $2 : 1$로 외분하는 점 $\mathrm{D}$의 좌표는 $\left( \mathit{2} a _{2} , 2 b _{2} \right)$ 이때 두 선분 $\mathrm{AD}$, $\mathrm{BC}$는 모두 삼각형 $\mathrm{OCD}$의 중선이므로 교점 $\mathrm{E}$는 삼각형 $\mathrm{OCD}$의 무게중심이다. 따라서 점 $\mathrm{E}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{\left( \frac{\mathit{0 + 2 a _{1} + 2 a _{2}}}{3} , \frac{0 + 2 b _{1} + 2 b _{2}}{3} \right)}$ ㉠에 의하여 $\displaystyle \frac{2 a _{1} + 2 a _{2}}{3} = \frac{2 \left( a _{1} + a _{2} \right)}{3} = \frac{2 \times 15}{3} = 10$, $\displaystyle \frac{2 b _{1} + 2 b _{2}}{3} = \frac{2 \left( b _{1} + b _{2} \right)}{3} = \frac{2 \times 12}{3} = 8$ 이므로 점 $\mathrm{E}$의 좌표는 $\left( 10 , 8 \right)$이다. 따라서 $p = 10$, $q = 8$이므로 $p + q = 18$ [다른 풀이]

점 $\mathrm{E}$는 삼각형 $\mathrm{OCD}$의 무게중심이므로 점 $\mathrm{E}$는 선분 $\mathrm{DA}$를 $2 : 1$로 내분하는 점이다. 선분 $\mathrm{OA}$의 중점을 $\mathrm{F}$라 하고, 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 무게중심을 $\mathrm{G}$라 하면 점 $\mathrm{G}$는 선분 $\mathrm{BF}$를 $2 : 1$로 내분하는 점이므로 세 점 $\mathrm{O}$, $\mathrm{G}$, $\mathrm{E}$는 한 직선 위에 있다. 이때 $\displaystyle \overline{\mathrm{OF}} : \overline{\mathrm{OA}} = 1 : 2$이므로 두 삼각형 $\mathrm{OFG}$, $\mathrm{OAE}$는 닮음비가 $1 : 2$인 닮은 도형이다. 즉 $\displaystyle \overline{\mathrm{OG}} : \overline{\mathrm{OE}} = 1 : 2$이고 점 $\mathrm{G}$의 좌표가 $\left( 5 , 4 \right)$이므로 $p = 2 \times 5 = 10$, $q = 2 \times 4 = 8$ 따라서 $p + q = 18$