공통수학2평면좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

외분점과 무게중심

문제

좌표평면 위에서 세 점 O(0,0)\mathrm{O} ( 0 , 0 ), A(4,1)\mathrm{A} ( 4 , 1 ), B(1,4)\mathrm{B} ( 1 , 4 ) 를 꼭지점으로 하는 삼각형 OAB\mathrm{OAB}에 대하여 선분 AB\mathrm{AB}를 1:21 : 2로 외분하는 점을 C\mathrm{C}, 선분 AB\mathrm{AB}를 2:12 : 1로 외분하는 점을 D\mathrm{D}라 하자. 두 삼각형 OCB\mathrm{OCB}, OAD\mathrm{OAD} 의 무게중심을 각각 G1\mathrm{G} _{1}, G2\mathrm{G} _{2} 라 할 때, 선분 G1G2\mathrm{G _{1} G _{2}} 의 길이는? [4점]

①22\displaystyle 2 \sqrt{2}②523\displaystyle \frac{5 \sqrt{2}}{3}③423\displaystyle \frac{4 \sqrt{2}}{3}④2\displaystyle \sqrt{2}⑤223\displaystyle \frac{2 \sqrt{2}}{3}

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①

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해설

[출제의도] 선분의 내분점과 외분점을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. 선분 OA\mathrm{OA}는 삼각형 OCB\mathrm{OCB}의 중선이므로 삼각형 OCB\mathrm{OCB}의 무게중심 G1\mathrm{G} _{1}은 선분 OA\mathrm{OA}를 2:12 : 1로 내분하는 점이다. 마찬가지로 삼각형 OAD\mathrm{OAD}의 무게중심 G2\mathrm{G} _{2}는 선분 OB\mathrm{OB}를 2:12 : 1로 내분하는 점이다. 이때 △OG1G2\triangle \mathrm{OG} _{1} G _{2}󰁀 △OAB\triangle \mathrm{OAB}이고 그 닮음비가 2:32 : 3이므로 선분 G1G2\mathrm{G} _{1} G _{2}의 길이는 선분 AB\mathrm{AB}의 길이의 23\displaystyle \frac{2}{3}이다. 따라서 구하는 선분의 길이는 23(4−1)2+(1−4)2=22\displaystyle \frac{2}{3} \sqrt{( 4 - 1 ) ^{2} + ( 1 - 4 ) ^{2}} = 2 \sqrt{2} [다른풀이] 점 C\mathrm{C}의 좌표는 (7,−2)\left( 7 , - 2 ) \right. 점 D\mathrm{D}의 좌표는 (−2,7)\left( - 2 , 7 ) \right. 삼각형 OCB\mathrm{OCB}의 무게중심 G1\mathrm{G} _{1}의 좌표는 (83,23)\displaystyle \left. \left( \frac{8}{3} , \frac{2}{3} \right) \right. 삼각형 OAD\mathrm{OAD}의 무게중심 G2\mathrm{G} _{2}의 좌표는 (23,83)\displaystyle \left. \left( \frac{2}{3} , \frac{8}{3} \right) \right. 따라서 선분 G1G2\mathrm{G} _{1} G _{2}의 길이는 (83−23)2+(23−83)2\displaystyle \sqrt{\left( \frac{8}{3} - \frac{2}{3} \right) ^{2} + \left( \frac{2}{3} - \frac{8}{3} \right) ^{2}}=22+22\displaystyle = \sqrt{2 ^{2} + 2 ^{2}}=22\displaystyle = 2 \sqrt{2}

태그

#외분점#무게중심

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