외분점과 무게중심

[출제의도] 선분의 내분과 외분 이해하기 점 $\mathrm{A}$의 좌표를 $\left( x _{1} , y _{1} \right)$, 점 $\mathrm{B}$의 좌표를 $\left( x _{2} , y _{2} \right)$라 하면 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{OA}$를 $2 : 1$로 외분하는 점이므로 $\displaystyle \frac{2 \times x _{1} - 1 \times 0}{2 - 1} = 2 x _{1}$, $\displaystyle \frac{2 \times y _{1} - 1 \times 0}{2 - 1} = 2 y _{1}$ 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\left( \mathit{2} x _{1} , 2 y _{1} \right)$ 점 $\mathrm{Q}$는 선분 $\mathrm{OB}$를 $2 : 1$로 외분하는 점이므로 $\displaystyle \frac{2 \times x _{2} - 1 \times 0}{2 - 1} = 2 x _{2}$, $\displaystyle \frac{2 \times y _{2} - 1 \times 0}{2 - 1} = 2 y _{2}$ 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\left( \mathit{2} x _{2} , 2 y _{2} \right)$ 선분 $\mathrm{PQ}$의 중점의 좌표가 $\left( 4 , 5 \right)$이므로 $\displaystyle \frac{2 x _{1} + 2 x _{2}}{2} = x _{1} + x _{2} = 4$, $\displaystyle \frac{2 y _{1} + 2 y _{2}}{2} = y _{1} + y _{2} = 5$ 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 무게중심의 좌표 $\left( a , b \right)$는 $\displaystyle a = \frac{0 + x _{1} + x _{2}}{3} = \frac{4}{3}$, $\displaystyle b = \frac{0 + y _{1} + y _{2}}{3} = \frac{5}{3}$ 따라서 $\displaystyle a + b = \frac{4}{3} + \frac{5}{3} = 3$