미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

오차함수 조건 f(1)

문제

최고차 항의 계수가 양수인 55차 함수 f(x)f ( x )에 대하여 f′(0)=15f' ( 0 ) = 15이고, y=f′(x)y = f' ( x )의 그래프는 x=1,x=−1x = 1 , x = - 1에서 xx축과 접한다. lim⁡x→0120x∫0xf(t)dt=−1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{1}{20 x} \int _{0} ^{x} f ( t ) dt = - 1일 때, f(1)f ( 1 )의 값을 구하시오. [4점]

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-12

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해설

y=f′(x)y = f' ( x )의 그래프는 x=1,x=−1x = 1 , x = - 1에서 xx축과 접하고, 함수 f(x)f ( x )는 최고차 항의 계수가 양수인 5차이므로 f′(x)f' ( x )는 4차 함수이므로 f′(x)=a(x+1)2(x−1)2f' ( x ) = a ( x + 1 ) ^{2} ( x - 1 ) ^{2}(단, a>0a > 0)라 둘 수 있다. 또, f′(0)=15f' ( 0 ) = 15에서 a=15a = 15이다. ∴f′(x)=15(x+1)2(x−1)2=15(x4−2x2+1)\therefore f' ( x ) = 15 ( x + 1 ) ^{2} ( x - 1 ) ^{2} = 15 ( x ^{4} - 2 x ^{2} + 1 )이다. ∴f(x)=∫15(x4−2x2+1)dx\displaystyle \begin{aligned} \therefore f ( x ) & = \int _{} ^{} {} 15 ( x ^{4} - 2 x ^{2} + 1 ) dx \end{aligned}=3x5−10x3+15x+C(단,C는적분상수)= 3 x ^{5} - 10 x ^{3} + 15 x + C ( \text{단} , C \text{는} \text{적분상수} ) 또, lim⁡x→0120x∫0xf(t)dt=−1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{1}{20 x} \int _{0} ^{x} f ( t ) dt = - 1에서 120lim⁡x→01x∫0xf(t)dt=−1↔f(0)=−20\displaystyle \frac{1}{20} \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int _{0} ^{x} f ( t ) dt = - 1 \leftrightarrow f ( 0 ) = - 20이므로 f(0)=C=−20f ( 0 ) = C = - 20이다. ∴f(x)=3x5−10x3+15x−20\therefore f ( x ) = 3 x ^{5} - 10 x ^{3} + 15 x - 20 ∴f(1)=−12\therefore f ( 1 ) = - 12

태그

#도함수#적분으로 정의된 함수의 극한

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