대수삼각함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

뉘인 원기둥의 물 높이

문제

반지름의 길이가 rr이고 높이가 11인 원기둥에 물이 들어 있다. 원기둥을 수평으로 뉘었을 때 수면과 옆면이 만나서 이루는 현에 대한 중심각을 θ\theta라 하자. 원기둥을 세웠을 때 수면의 높이 hh를 θ\theta로 표시하면? (단, 0<θ<π,0<h<12\displaystyle 0 < \theta < \pi , 0 < h < \frac{1}{2}) [2점]

①h=12πθ\displaystyle h = \frac{1}{2 \pi} \theta②h=12πsin⁡θ\displaystyle h = \frac{1}{2 \pi} \sin \theta③h=θ−sin⁡θh = \theta - \sin \theta④h=12π(θ+sin⁡θ)\displaystyle h = \frac{1}{2 \pi} ( \theta + \sin \theta )⑤h=12π(θ−sin⁡θ)\displaystyle h = \frac{1}{2 \pi} ( \theta - \sin \theta )

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⑤

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해설

그림에서 원기둥을 수평으로 뉘었을 때 수면과 옆면이 만나서 이루는 활꼴 부분의 넓이 SS는 S=12r2θ−12r2sin⁡θ\displaystyle S = \frac{1}{2} r ^{2} \theta - \frac{1}{2} r ^{2} \sin \theta 한편 원기둥에 들어 있는 물의 부피 VV를 두 경우에 대해 구해 보면 V=S×1=πr2hV = S \times 1 = \pi r ^{2} h, 12r2θ−12r2sin⁡θ=πr2h\displaystyle \frac{1}{2} r ^{2} \theta - \frac{1}{2} r ^{2} \sin \theta = \pi r ^{2} h ∴h=12π(θ−sin⁡θ)\displaystyle \therefore h = \frac{1}{2 \pi} \left( \theta - \sin \theta \right)

태그

#부채꼴의 넓이#활꼴

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