확률과 통계확률분포수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

누적확률로 기댓값

문제

확률변수 XX는 1, 2, 3, 4, 5의 값을 갖고 X≤kX \leq k (k=1,2,3,4,5k = 1 , 2 , 3 , 4 , 5)일 확률이 P(X≤k)=ak2P ( X \leq k ) = ak ^{2} (aa는 상수) 이다. 확률변수 XX의 기댓값이 mm일 때, 20m20 m의 값을 구하시오. [4점]

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해설

P(X=k)=P(x≤k)−P(x≤k−1)=ak2−a(k−1)2=a(2k−1)P ( X = k ) = P ( x \leq k ) - P ( x \leq k - 1 ) = ak ^{2} - a ( k - 1 ) ^{2} = a ( 2 k - 1 ) 1=∑k=15P(X=k)=∑k=15a(2k−1)=a×25\displaystyle 1 = \sum\limits _{k=1} ^{5} P ( X = k ) = \sum\limits _{k=1} ^{5} a ( 2 k - 1 ) = a \times 25 ∴a=125\displaystyle \therefore a = \frac{1}{25} E(X)=125∑k=15{k⋅(2k−1)}=125∑k=15(2k2−k)=195\displaystyle E ( X ) = \frac{1}{25} \sum\limits _{k=1} ^{5} \left\{ k \cdot ( 2 k - 1 ) \right\} = \frac{1}{25} \sum\limits _{k=1} ^{5} ( 2 k ^{2} - k ) = \frac{19}{5} ∴20E(X)=20×195=76\displaystyle \therefore 20 E ( X ) = 20 \times \frac{19}{5} = 76

태그

#확률분포#기댓값

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