누적분포 조건의 확률밀도함수

[출제의도] 확률밀도함수의 성질을 이용하여 연속확률변수의 평균을 구할 수 있는가? $P ( 0 \leq X \leq a ) = 1$ 이므로 $ka ^{2} = 1$ ⋯㉠ 확률변수 $X$의 확률밀도함수를 $f ( x )$라 하면 $\displaystyle P ( 0 \leq X \leq x ) = \int _{0} ^{x} {f ( t ) dt = kx ^{2}}$ 등식의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f ( x ) = 2 kx$ $\displaystyle \therefore E ( X ) = \int _{0} ^{a} {xf ( x ) dx = \int _{0} ^{a} {2 kx ^{2} dx}} = \left[ \frac{2}{3} kx ^{3} \right] _{1} ^{a} = 1$ $\displaystyle \therefore ka ^{3} = \frac{3}{2}$ ⋯㉡ ㉡÷㉠에서 $\displaystyle a = \frac{3}{2}$ , ㉠에서 $\displaystyle \frac{9}{4} k = 1$ $\displaystyle \therefore k = \frac{4}{9}$