대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

n제곱근 실수 개수 합

문제

$n$ 이 $2$ 이상의 자연수일 때, $n$ 의 $n$ 제곱근 중 실수인 것의 개수를 $f ( n )$ 이라 하자. $\displaystyle \sum\limits _{n = 2} ^{m} f ( n ) = 33$ 을 만족시키는 자연수 $m$ 의 값은? [3점] ① $20$ ② $21$ ③ $22$ ④ $23$ ⑤ $24$

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④

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해설

(ⅰ) $m = 2 k + 1$ ( $k$ 는 자연수)일 때 $\displaystyle \sum\limits _{n = 2} ^{m} f ( n ) = 2 + 1 + 2 + 1 + \cdots + 2 + 1 = 3 k$ (ⅱ) $m = 2 k$ ( $k$ 는 자연수)일 때 $\displaystyle \sum\limits _{n = 2} ^{m} f ( n ) = 2 + 1 + 2 + 1 + \cdots + 2 = 3 k - 1$ 이때 $\displaystyle \sum\limits _{n = 2} ^{m} f ( n ) = 33$ 이므로 $k = 11$ ∴ $m = 23$

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