n제곱근 실수 개수

$\displaystyle 20 < \sqrt{401} < 21$이므로 $2 \leq n \leq 20$일 때, $\displaystyle n - \sqrt{401} < 0$이고, $21 \leq n \leq 50$일 때, $\displaystyle n - \sqrt{401} > 0$이다. $\displaystyle \log _{2} \frac{15}{n \times \left( f \left( n \right) + 3 \right)}$의 값이 정수이므로 $\displaystyle \log _{2} \frac{15}{n \times \left( f \left( n \right) + 3 \right)} = k$ ($k$는 정수)라 하자. (ⅰ) $n$이 홀수인 경우 $\displaystyle n - \sqrt{401}$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수는 $1$이므로 $f \left( n \right) = 1$이다. $\displaystyle \log _{2} \frac{15}{n \times \left( f \left( n \right) + 3 \right)} = \log _{2} \frac{15}{4 n} = k$ 에서 $n = 15 \times 2 ^{- k - 2}$이고 $n$이 홀수이므로 $k = - 2$일 때, $n = 15$이다. (ⅱ) $n$이 $2 \leq n \leq 20$인 짝수인 경우 $\displaystyle n - \sqrt{401} < 0$이므로 $\displaystyle n - \sqrt{401}$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수는 $0$이다. 그러므로 $f \left( n \right) = 0$이다. $\displaystyle \log _{2} \frac{15}{n \times \left( f \left( n \right) + 3 \right)} = \log _{2} \frac{5}{n} = k$ 에서 $n = 5 \times 2 ^{- k}$이고 $2 \leq n \leq 20$이므로 $k = - 1$일 때, $n = 5 \times 2 = 10$ $k = - 2$일 때, $n = 5 \times 2 ^{2} = 20$ 이다. (ⅲ) $n$이 $22 \leq n \leq 50$인 짝수인 경우 $\displaystyle n - \sqrt{401} > 0$이므로 $\displaystyle n - \sqrt{401}$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수는 $2$이다. 그러므로 $f \left( n \right) = 2$이다. $\displaystyle \log _{2} \frac{15}{n \times \left( f \left( n \right) + 3 \right)} = \log _{2} \frac{3}{n} = k$ 에서 $n = 3 \times 2 ^{- k}$이고 $22 \leq n \leq 50$이므로 $k = - 3$일 때, $n = 3 \times 2 ^{3} = 24$ $k = - 4$일 때, $n = 3 \times 2 ^{4} = 48$ 이다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 모든 $n$의 값의 합은 $15 + 10 + 20 + 24 + 48 = 117$