n제곱근 개수

(ⅰ) $n$이 홀수일 때 (a) $n ^{2} - 10 n + 21 > 0$일 때 양수인 실근이 $1$개 존재하므로 $f \left( n \right) = 1$, $g \left( n \right) = 0$ $n ^{2} - 10 n + 21 > 0$에서 $\left( n - 3 \right) \left( n - 7 \right) > 0$ $\therefore$ $n < 3$ 또는 $n > 7$ $\therefore$ $f \left( 9 \right) = 1$, $g \left( 9 \right) = 0$ (b) $n ^{2} - 10 n + 21 = 0$일 때 실근은 $0$뿐이므로 $f \left( n \right) = 0$, $g \left( n \right) = 0$ $n ^{2} - 10 n + 21 = 0$에서 $\left( n - 3 \right) \left( n - 7 \right) = 0$ $\therefore$ $n = 3$ 또는 $n = 7$ $\therefore$ $f \left( 3 \right) = f \left( 7 \right) = 0$, $g \left( 3 \right) = g \left( 7 \right) = 0$ (c) $n ^{2} - 10 n + 21 < 0$일 때 음수인 실근이 $1$개 존재하므로 $f \left( n \right) = 0$, $g \left( n \right) = 1$ $n ^{2} - 10 n + 21 < 0$에서 $\left( n - 3 \right) \left( n - 7 \right) < 0$ $\therefore$ $3 < n < 7$ $\therefore$ $f \left( 5 \right) = 0$, $g \left( 5 \right) = 1$ (ⅱ) $n$이 짝수일 때 (a) $n ^{2} - 10 n + 21 > 0$일 때 양수와 음수인 실근이 각각 $1$개씩 존재하므로 $f \left( n \right) = 1$, $g \left( n \right) = 1$ $n ^{2} - 10 n + 21 > 0$에서 $\left( n - 3 \right) \left( n - 7 \right) > 0$ $\therefore$ $n < 3$ 또는 $n > 7$ $\therefore$ $f \left( 2 \right) = f \left( 8 \right) = 1$, $g \left( 2 \right) = g \left( 8 \right) = 1$ (b) $n ^{2} - 10 n + 21 \leq 0$일 때 실근이 존재하지 않거나 $0$뿐이므로 $f \left( n \right) = 0$, $g \left( n \right) = 0$ $n ^{2} - 10 n + 21 \leq 0$에서 $\left( n - 3 \right) \left( n - 7 \right) \leq 0$ $\therefore$ $3 \leq n \leq 7$ $\therefore$ $f \left( 4 \right) = f \left( 6 \right) = 0$, $g \left( 4 \right) = g \left( 6 \right) = 0$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 2} ^{9} \left\{ f \left( k \right) + 2 g \left( k \right) \right\}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 2} ^{9} f \left( k \right) + 2 \sum\limits _{k = 2} ^{9} g \left( k \right)$ $= \left\{ f \left( 2 \right) + f \left( 8 \right) + f \left( 9 \right) \right\} + 2 \left\{ g \left( 2 \right) + g \left( 5 \right) + g \left( 8 \right) \right\}$ $= 3 + 2 \times 3$ $= 9$