미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

늘어나는 삼각형 넓이 극한

문제

그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 A1(1,3)\displaystyle \mathrm{A} _{1} \left( 1 , \sqrt{3} \right)과 점 B1(2,0)\mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{1}}} \left( 2 , 0 \right)이 있다. 모든 자연수 nn에 대하여 직선 y=3x\displaystyle y = \sqrt{3} x 위의 점 An\mathrm{A} _{\mathit{n}}과 xx축 위의 점 Bn\mathrm{B} _{\mathit{n}}이 다음 식을 만족시킨다. OAn+1‾=OAn‾+a\displaystyle \overline{\mathrm{OA} _{\mathit{n} + 1}} = \overline{\mathrm{OA} _{\mathit{n}}} + a, OBn+1‾=OBn‾+b\displaystyle \overline{\mathrm{OB} _{\mathit{n} + 1}} = \overline{\mathrm{OB} _{\mathit{n}}} + b

삼각형 OAnBn\mathrm{OA} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}}의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Snn2=53\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{S _{n}}{n ^{2}} = 5 \sqrt{3}}이 되도록 하는 양의 정수 a,ba , b의 순서쌍 (a,b)( a , b )의 개수는? (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [4점] ①33②44③55④66⑤77

정답 보기
④

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

an=OAn‾\displaystyle a _{n} = \overline{{\mathrm{OA}} _{n}}, bn=OBn‾\displaystyle b _{n} = \overline{{\mathrm{OB}} _{n}}이라 하면 an=2+(n−1)aa _{n} = 2 + \left( n - 1 \right) a, bn=2+(n−1)bb _{n} = 2 + \left( n - 1 \right) b이므로 Sn=12anbnsin⁡π3=34(an+2−a)(bn+2−b)\displaystyle S _{n} = \frac{1}{2} a _{n} b _{n} \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( an + 2 - a \right) \left( bn + 2 - b \right) 이다. 그런데 lim⁡n→∞Snn2=lim⁡n→∞34(a+2−an)(b+2−bn)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{S _{n}}{n ^{2}}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\sqrt{3}}{4} \left( a + \frac{2 - a}{n} \right) \left( b + \frac{2 - b}{n} \right)}=34ab=53\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4} ab = 5 \sqrt{3} 이므로 ab=20ab = 20이다. 따라서 양의 정수 aa, bb의 순서쌍 (a,b)\left( a , b \right)의 개수는 66이다.

태그

#수열의 극한#등차수열#순서쌍

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 수열의 극한 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로