미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

넓이의 시간 변화율

문제

그림과 같이 좌표평면에서 원 x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1 위의 점 P\mathrm{P}가 점 (1,0)( 1 , 0 )에서 출발하여 원점을 중심으로 매초 140\displaystyle \frac{1}{40}(라디안)의 일정한 속력으로 원 위를 시계 반대 방향으로 움직이고 있다. 점 P\mathrm{P}에서 xx축에 평행한 직선을 그을 때, 원과 직선으로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를 SS라 하자. 점 P\mathrm{P}가 점(32,12)\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2} , \frac{1}{2} \right)을 지나는 순간, 넓이 SS의 시간(초)에 대한 변화율은 ba\displaystyle \frac{b}{a}이다. a+ba + b의 값을 구하시오. (단, aa와 bb는 서로소인 자연수이다.) [4점]

확률과 통계

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8383

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해설

시각 tt일 때, 선분 O‾P\displaystyle {\overline{\mathrm{O}} P}와 xx축의 양의 방향이 이루는 각을 θ\theta라 하면 (0<θ<π2)\displaystyle \left( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \right) dθdt=140\displaystyle \frac{d \theta}{dt} = \frac{1}{40}이고, 점 P\mathrm{P}의 좌표는 (cos⁡θ,sin⁡θ)( \cos \theta , \sin \theta )이다. 이 때, 어두운 부분의 넓이 SS는 S=π2+θ+sin⁡θcos⁡θ\displaystyle S = \frac{\pi}{2} + \theta + \sin \theta \cos \theta 점 P\mathrm{P}가 (32,12)\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2} , \frac{1}{2} \right)을 지날 때, θ=π6\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}, cos⁡θ=32\displaystyle \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡θ=12\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{2}이므로 dSdt=(1+cos⁡2θ−sin⁡2θ)dθdt\displaystyle \frac{dS}{dt} = ( 1 + \cos ^{2} \theta - \sin ^{2} \theta ) \frac{d \theta}{dt}=380=ba\displaystyle = \frac{3}{80} = \frac{b}{a} ∴a+b=83\therefore a + b = 83

태그

#시간에 대한 변화율#합성함수 미분

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