미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

넓이의 극한

문제

그림과 같이 실수 tt (0<t<1)\left( 0 < t < 1 \right)에 대하여 직선 y=2ty = 2 t가 두 곡선 y=x2y = x ^{2}, y=tx2y = tx ^{2}과 제11사분면에서 만나는 점을 각각 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}라 하고, 직선 y=t+1y = t + 1이 두 곡선 y=x2y = x ^{2}, y=tx2y = tx ^{2}과 제11사분면에서 만나는 점을 각각 C\mathrm{C}, D\mathrm{D}라 하자. 사각형 ABDC\mathrm{ABDC}의 넓이를 S(t)S \left( t \right)라 할 때, lim⁡t→1−S(t)(1−t)2\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 1 -} {\frac{S \left( t \right)}{\left( 1 - t \right) ^{2}}}의 값은? [4점]

①14\displaystyle \frac{1}{4}②24\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}③12\displaystyle \frac{1}{2}④22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}⑤11

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④

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해설

[출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기 네 점 A,B,C,D\mathrm{A} , B , C , D의 좌표는 각각 A(2t,2t)\displaystyle {\mathrm{A}} \left( \sqrt{2 t} , 2 t \right), B(2,2t)\displaystyle {\mathrm{B}} \left( \sqrt{2} , 2 t \right), C(t+1,t+1)\displaystyle {\mathrm{C}} \left( \sqrt{t + 1} , t + 1 \right), D(t+1t,t+1)\displaystyle {\mathrm{D}} \left( \sqrt{\frac{t + 1}{t}} , t + 1 \right) 이므로 AB‾=2−2t=2(1−t)\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{2} - \sqrt{2 t} = \sqrt{2} \left( 1 - \sqrt{t} \right) CD‾=t+1t−t+1=t+1t(1−t)\displaystyle \overline{\mathrm{CD}} = \sqrt{\frac{t + 1}{t}} - \sqrt{t + 1} = \sqrt{\frac{t + 1}{t}} \left( 1 - \sqrt{t} \right) 점 C\mathrm{C}에서 직선 AB\mathrm{AB}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하면 CH‾\displaystyle \overline{\mathrm{CH}}=(t+1)−2t=1−t= \left( t + 1 \right) - 2 t = 1 - t이므로 S(t)S \left( t \right)=12×(AB‾+CD‾)×CH‾\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( \overline{\mathrm{AB}} + \overline{\mathrm{CD}} \right) \times {\overline{\mathrm{CH}}} =12{2(1−t)+t+1t(1−t)}(1−t)\displaystyle = \frac{1}{2} \left\{ \sqrt{2} \left( 1 - \sqrt{t} \right) + \sqrt{\frac{t + 1}{t}} \left( 1 - \sqrt{t} \right) \right\} \left( 1 - t \right) =12(2+t+1t)(1−t)(1−t)\displaystyle = \frac{1}{2} \left( \sqrt{2} + \sqrt{\frac{t + 1}{t}} \right) \left( 1 - \sqrt{t} \right) \left( 1 - t \right) 따라서 lim⁡t→1−S(t)(1−t)2\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 1 -} {\frac{S \left( t \right)}{\left( 1 - t \right) ^{2}}}=lim⁡t→1−12(1+t)(2+t+1t)\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 1 -} {\frac{1}{2 \left( 1 + \sqrt{t} \right)} \left( \sqrt{2} + \sqrt{\frac{t + 1}{t}} \right)} =14×22\displaystyle = \frac{1}{4} \times 2 \sqrt{2} =22\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2}

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#함수의 극한#넓이

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