대수등차수열과 등비수열수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

넓이의 등차수열

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 $2$ 인 정사각형 $\mathrm{ABCD}$ 의 변 $\mathrm{AD}$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 $\displaystyle {\mathrm{\overline{AP}}} = x$ , 변 $\mathrm{CD}$ 위의 점 $\mathrm{Q}$ 에 대하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{DQ}} \mathit{=} y$ 라 하자. $\mathrm{\triangle} ABP$ , $\mathrm{\triangle} PQD$ , $\mathrm{\triangle} QBC$ 의 넓이가 이 순서로 등차수열을 이룰 때, $x$ , $y$ 사이의 관계를 그래프로 나타내면? [4점]

①	$2$ $2$ $y$ $\mathrm{O}$ $\displaystyle \frac{2}{3}$ $\displaystyle \frac{4}{3}$	②	$2$ $2$ $y$ $x$ $\mathrm{O}$ $\displaystyle \frac{2}{3}$ $\displaystyle \frac{4}{3}$

③	$x$ $2$ $2$ $y$ $\mathrm{O}$ $\displaystyle \frac{2}{3}$ $\displaystyle \frac{4}{3}$	④	$x$ $2$ $2$ $y$ $\mathrm{O}$ $\displaystyle \frac{2}{3}$ $\displaystyle \frac{4}{3}$

⑤	$x$ $2$ $2$ $y$ $\mathrm{O}$ $\displaystyle \frac{2}{3}$ $\displaystyle \frac{4}{3}$

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④

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해설

[출제의도] 등차중항을 이용하여 관계식 찾기 $\mathrm{\triangle} ABP$ , $\mathrm{\triangle} PQD$ , $\mathrm{\triangle} QBC$ 의 넓이를 각각 $S _{1}$ , $S _{2}$ , $S _{3}$ 이라 하면 $S _{1} = x$ , $\displaystyle S _{2} = \frac{1}{2} y ( 2 - x )$ , $S _{3} = 2 - y$ $S _{1} , S _{2} , S _{3}$ 이 이 순서로 등차수열을 이루므로 $2 S _{2} = S _{1} + S _{3}$ $y ( 2 - x ) = x + ( 2 - y )$ $\displaystyle y = \frac{- x - 2}{x - 3} = \frac{- 5}{x - 3} - 1$ (단, $0 < x < 2$ , $0 < y < 2$ )

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