넓이가 같은 삼각형

[출제의도] 직선의 방정식을 활용하여 문제해결하기

$y = 3 x - 6$ $y = \mathit{-} 5 x + 26$ $y = \mathit{-} x + 10$

$x$축 위의 점 $\mathrm{D} \left( \mathit{a} , 0 \right)$($a > 2$)에 대하여 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이와 삼각형 $\mathrm{ABD}$의 넓이가 같으려면 직선 $\mathrm{AB}$와 점 $\mathrm{C}$ 사이의 거리와 직선 $\mathrm{AB}$와 점 $\mathrm{D}$ 사이의 거리가 같아야 하므로 점 $\mathrm{C}$를 지나고 직선 $\mathrm{AB}$에 평행한 직선 위에 점 $\mathrm{D}$가 있어야 한다. 직선 $y = \mathit{-} x + 10$의 $y$절편이 $10$이므로 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $\mathrm{\left( 0 , 10 \right)}$이고 직선 $y = 3 x - 6$의 $x$절편이 $2$이므로 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $\mathrm{\left( 2 , 0 \right)}$이다. 직선 $\mathrm{AB}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{0 - 10}{2 - 0} = \mathit{-} 5$이고 두 직선 $y = \mathit{-} x + 10$, $y = 3 x - 6$의 교점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $\mathrm{\left( 4 , 6 \right)}$이므로 점 $\mathrm{C}$를 지나고 직선 $\mathrm{AB}$에 평행한 직선의 방정식은 $y - 6 = \mathit{-} 5 \left( x - 4 \right)$, $y = \mathit{-} 5 x + 26$ 점 $\mathrm{D} \left( \mathit{a} , 0 \right)$이 직선 $y = \mathit{-} 5 x + 26$ 위의 점이므로 $0 = \mathit{-} 5 a + 26$ 따라서 $\displaystyle a = \frac{26}{5}$