넓이비로 선분비

[출제의도] 삼각비를 알고 삼각형의 넓이를 이용하여 선분의 길이의 비를 구한다. 높이가 같은 두 삼각형에서 밑변의 길이의 비는 넓이의 비와 같다.

점 $\mathrm{A}$에서 선분 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. $\mathrm{\triangle} ABD$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{BD}} \times \overline{AH}$ $\mathrm{\triangle} ADC$$\displaystyle \frac{= \mathrm{1}}{2} \times \overline{DC} \times \overline{AH}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} \overline{DC}$$\displaystyle = \frac{\mathrm{\triangle} ABD}{\triangle ADC}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\mathrm{\triangle} ABD$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{AB}} \times \overline{AD} \times \sin 45 ^\circ$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 12 \times \mathrm{\overline{AD}} \times \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\displaystyle = 3 \sqrt{2} \times \mathrm{\overline{AD}}$ $\mathrm{\triangle} ADC$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{AD}} \times \overline{AC} \times \sin 30 ^\circ$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{AD}} \times 8 \sqrt{2} \times \frac{1}{2}$ $\displaystyle = 2 \sqrt{2} \times \mathrm{\overline{AD}}$ 따라서 ㉠에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} \overline{DC}$$\displaystyle = \frac{\mathrm{\triangle} ABD}{\triangle ADC}$$\displaystyle = \frac{3 \sqrt{2} \times \mathrm{\overline{AD}}}{2 \sqrt{2} \times \mathrm{\overline{AD}}}$$\displaystyle = \frac{3}{2}$ [다른 풀이] 높이가 같은 두 삼각형에서 밑변의 길이의 비는 넓이의 비와 같다.

점 $\mathrm{A}$에서 선분 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. $\mathrm{\triangle} ABD$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{BD}} \times \overline{AH}$ $\mathrm{\triangle} ADC$$\displaystyle \frac{= \mathrm{1}}{2} \times \overline{DC} \times \overline{AH}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} \overline{DC}$$\displaystyle = \frac{\mathrm{\triangle} ABD}{\triangle ADC}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 점 $\mathrm{D}$에서 두 변 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{AC}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$라 하자.

$\displaystyle \mathrm{\overline{DQ}} = \mathit{a}$라 하면 직각삼각형 $\mathrm{ADQ}$에서 $\sin 30 ^\circ$$\displaystyle = \mathrm{\frac{\overline{DQ}}{\overline{AD}}}$$\displaystyle \frac{= \mathit{a}}{\overline{\mathrm{AD}}}$$\displaystyle = {\frac{1}{2}}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD} = \mathit{2} a}$ 직각삼각형 $\mathrm{ADP}$에서 $\sin 45 ^\circ$$\displaystyle = \mathrm{\frac{\overline{DP}}{\overline{AD}}}$$\displaystyle = \frac{\overline{\mathrm{DP}}}{\mathit{2 a}}$$\displaystyle = {\frac{\sqrt{2}}{2}}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{DP} = \mathit{\sqrt{2}} a}$ $\mathrm{\triangle} ABD$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{AB}} \times \overline{DP}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 12 \times \sqrt{2} a$$\displaystyle = 6 \sqrt{2} a$ $\mathrm{\triangle} ADC$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{AC}} \times \overline{DQ}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 8 \sqrt{2} \times a$$\displaystyle = 4 \sqrt{2} a$ 따라서 ㉠에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} \overline{DC}$$\displaystyle = \frac{\mathrm{\triangle} ABD}{\triangle ADC}$$\displaystyle {= \frac{6 \sqrt{2} a}{4 \sqrt{2} a}}$$\displaystyle = \frac{3}{2}$