넓이 순간변화율

[출제의도] 함수의 미분법을 이용하여 넓이의 순간변화율을 구한다. 네 점 $\mathrm{A} , B , \mathrm{C} , D$의 좌표는 $\mathrm{A} ( \log _{4} a , a ) , \mathrm{B} ( \log _{2} a , a ) ,$$\mathrm{C} ( \log _{2} a , a ^{2} ) , \mathrm{D} ( 2 \log _{2} a , a ^{2} )$ 이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} = \log _{2} a$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = \mathit{a} ^{2} - a$이므로 삼각형 $\mathrm{ADC}$의 넓이를 $S ( a )$라 하면 $\displaystyle S ( a ) = \frac{1}{2} ( a ^{2} - a ) \cdot \log _{2} a$ ∴ $\displaystyle S' ( a ) = \frac{1}{2} ( 2 a - 1 ) \log _{2} a + \frac{1}{2} ( a ^{2} - a ) \frac{1}{a \ln 2}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} ( 2 a - 1 ) \log _{2} a + \frac{1}{2 \ln 2} ( a - 1 )$ ∴ $\displaystyle S' ( 4 ) = 7 + \frac{3}{2 \ln 2}$ 이때 $\displaystyle \frac{dS}{dt} = S' ( a ) \frac{da}{dt}$이고 $\displaystyle \frac{da}{dt} = 1$이므로 구하는 순간변화율은 $\displaystyle \left( 7 + \frac{3}{2 \ln 2} \right) \times 1$$\displaystyle = 7 + \frac{3}{2 \ln 2}$ [다른 풀이] 점 $\mathrm{P}$가 점 $( 0 , 2 )$를 출발한 지 $t$초 후의 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $( 0 , 2 + t )$이므로 삼각형 $\mathrm{ADC}$의 넓이는 $\displaystyle S ( t ) = \frac{1}{2} ( t ^{2} + 3 t + 2 ) \cdot \log _{2} ( t + 2 )$ ∴ $\displaystyle S' ( t ) = \frac{1}{2} ( 2 t + 3 ) \log _{2} ( t + 2 )$ $\displaystyle + \frac{1}{2} ( t ^{2} + 3 t + 2 ) \frac{1}{( t + 2 ) \ln 2}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} ( 2 t + 3 ) \log _{2} ( t + 2 )$$\displaystyle + \frac{1}{2 \ln 2} ( t + 1 )$ 점 $\mathrm{P}$가 점 $( 0 , 4 )$를 지나는 순간은 $t = 2$일 때이므로 구하는 순간변화율은 ∴ $\displaystyle S' ( 2 ) = \frac{1}{2} ( 2 \times 2 + 3 ) \log _{2} ( 2 + 2 )$$\displaystyle + \frac{1}{2 \ln 2} ( 2 + 1 )$ $\displaystyle = 7 + \frac{3}{2 \ln 2}$