미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

넓이 조건 수열 극한

문제

a1=1a _{1} = 1이고 모든 자연수 nn에 대하여 an<an+1a _{n} < a _{n+1}인 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 있다. 곡선 y=x2y = x ^{2}과 xx축 및 두 직선 x=anx = a _{n}, x=an+1x = a _{n+1}로 둘러싸인 도형의 넓이가 14(13)n−1\displaystyle 14 \left( \frac{1}{3} \right) ^{n - 1}일 때, lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n}의 값은? [3점]

①553\displaystyle 5 \sqrt[3]{5}②443\displaystyle 4 \sqrt[3]{4}③333\displaystyle 3 \sqrt[3]{3}④44⑤55

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④

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해설

∫anan+1x2dx=13(an+13−an3)=14(13)n−1\displaystyle \int _{a _{n}} ^{a _{n + 1}} {x ^{2} dx} = \frac{1}{3} ( a _{n+1} ^{3} - a _{n} ^{3} ) = 14 \left( \frac{1}{3} \right) ^{n-1} ∴an+13−an3=42(13)n−1\displaystyle \therefore a _{n + 1} ^{3} - a _{n} ^{3} = 42 \left( \frac{1}{3} \right) ^{n - 1} an3=1+∑k=1n−142(13)n−1=1+63(1−(13)n)\displaystyle a _{n} ^{3} = 1 + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} 42 \left( \frac{1}{3} \right) ^{n - 1} = 1 + 63 \left( 1 - \left( \frac{1}{3} \right) ^{n} \right) ∴lim⁡n→∞an=α\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} = \alpha lim⁡n→∞an3=α3=64\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n} ^{3} = \alpha ^{3} = 64} ∴lim⁡n→∞an=α=4\displaystyle \therefore \lim\limits _{n\rightarrow \infty {a _{n} = \alpha = 4}}

태그

#정적분#등비급수#수열의 극한

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