넓이 이등분 직선 극한

[출제의도] 도형의 성질을 이용하여 함수의 극한 문제를 해결한다. 직선 $l$이 정사각형 $\mathrm{OABC}$의 넓이를 이등분하므로 점 $\left( - 1 , 1 \right)$을 지난다. 직선 $l$의 기울기를 $m$이라 하면 직선 $l$의 방정식은 $y = m ( x + 1 ) + 1$, 즉 $y = mx + m + 1$ 직선 $l$과 $y$축이 만나는 점을 $\mathrm{D}$라 하면 점 $\mathrm{D}$의 좌표는 $\mathrm{D} \left( 0 , \mathit{m} + 1 \right)$ 직선 $l$과 선분 $\mathrm{AP}$가 만나는 점을 $\mathrm{E}$라 하자. 직선 $\mathrm{AP}$의 방정식이 $\displaystyle y = \mathit{-} \frac{2}{t} x + 2$이므로 $\displaystyle mx + m + 1 = \mathit{-} \frac{2}{t} x + 2$에서 $\displaystyle x = \frac{\left( 1 - m \right) t}{mt + 2}$ 그러므로 점 $\mathrm{E}$의 $x$좌표는 $\displaystyle \frac{\left( 1 - m \right) t}{mt + 2}$이다. 삼각형 $\mathrm{ADE}$의 넓이가 삼각형 $\mathrm{AOP}$의 넓이의 $\displaystyle \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times ( 1 - m ) \times \frac{\left( 1 - m \right) t}{mt + 2}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{2} \times 2 \times t \right)$ $t \ne 0$이므로 $\left( 1 - m \right) ^{2} = mt + 2$ $m ^{2} - \left( 2 + t \right) m - 1 = 0$ $m$$\displaystyle = \frac{t + 2 \pm \sqrt{\left( t + 2 \right) ^{2} - 4 \times \left( - 1 \right)}}{2}$ $\displaystyle = \frac{t + 2 \pm \sqrt{t ^{2} + 4 t + 8}}{2}$ 직선 $l$의 $y$절편이 $m + 1$이고 $0 < m + 1 < 2$이므로 $f ( t ) = m + 1$$\displaystyle = \frac{t + 4 - \sqrt{t ^{2} + 4 t + 8}}{2}$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {f ( t )}$$\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{t + 4 - \sqrt{t ^{2} + 4 t + 8}}{2}}$ $\displaystyle = \frac{4 - 2 \sqrt{2}}{2}$$\displaystyle = 2 - \sqrt{2}$