넓이 이등분 직선

[출제의도] 선분의 내분점과 직선의 방정식을 활용하여 점의 좌표를 구한다.

직선 $\mathrm{AD}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{4 - 0}{1 - 3} = \mathit{-} 2$ 직선 $\mathrm{BC}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{6 - 0}{3 - 6} = \mathit{-} 2$ 에서 두 직선 $\mathrm{AD}$, $\mathrm{BC}$는 평행이므로 사각형 $\mathrm{ABCD}$는 사다리꼴이다. 두 밑변의 길이가 각각 $a$, $b$이고 높이가 $h$인 사다리꼴의 넓이를 $S$라 하면 $\displaystyle S = \frac{1}{2} \times ( a + b ) \times h$ 이다. 직선 $l$이 사다리꼴 $\mathrm{A} BCD$의 넓이를 이등분하려면 나누어진 두 개의 사다리꼴의 두 밑변의 길이의 합이 서로 같아야 한다. 선분 $\mathrm{AD}$를 $1 : 3$으로 내분하는 점을 $\mathrm{E}$라 하고 점 $\mathrm{E}$를 지나는 직선 $l$이 사다리꼴 $\mathrm{ABCD}$의 넓이를 이등분할 때, 선분 $\mathrm{BC}$와 만나는 점 $\mathrm{F}$에 대하여 점 $\mathrm{F}$가 선분 $\mathrm{BC}$를 $m : n$으로 내분한다고 하자. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = 2 \sqrt{5}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = 3 \sqrt{5}$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AE}}} + {\overline{\mathrm{BF}}} = {\overline{\mathrm{DE}}} + {\overline{\mathrm{CF}}}$이므로 $\displaystyle \frac{1}{4} \times 2 \sqrt{5} + \frac{m}{m + n} \times 3 \sqrt{5}$$\displaystyle = \frac{3}{4} \times 2 \sqrt{5} + \frac{n}{m + n} \times 3 \sqrt{5}$ $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{3 m}{m + n} = \frac{3}{2} + \frac{3 n}{m + n}$ $\displaystyle \frac{3 \left( m - n \right)}{m + n} = 1$에서 $3 m - 3 n = m + n$ $2 m = 4 n$, $m = 2 n$ 따라서 $m : n = 2 : 1$이므로 점 $\mathrm{F}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{F} \left( \frac{2 \times 3 + 1 \times 6}{3} , \frac{2 \times 6 + 1 \times 0}{3} \right)$ 에서 $\mathrm{F} \left( 4 , 4 \right)$이다. 따라서 $a = 4$, $b = 4$이므로 $a + b = 8$