공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

넓이 행렬 역행렬 보기

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 22인 정사각형의 내부에 점 P\mathrm{P}가 있다. 점 P\mathrm{P}를 지나고 정사각형의 변에 수직인 두 선분을 그어 만들어지는 네 부분의 넓이를 각각 aa,bb,cc,dd라 하자. 점 P\mathrm{P}를 이차 정사각행렬 A=(abcd)\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}에 대응시킬 때, 옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? [4점]

〈 보 기 〉
ㄱ. 행렬AA가 단위행렬이 되는 점P\mathrm{P}가 있다. ㄴ. 행렬AA의 역행렬이 존재하지 않는 점P\mathrm{P}가 있다. ㄷ. 행렬AA의 역행렬이 존재하는 점P\mathrm{P}가 있다.

①ㄱ②ㄴ③ㄷ④ㄱ, ㄴ⑤ㄴ, ㄷ

정답 보기
②

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해설

[출제의도] 제시된 문제의 규칙에 따라 조건을 만족하는 행렬을 추론할 수 있다.

그림에서와 같이 정사각형 내부의 임의의 점P\mathrm{P}에 대하여 a=psa = ps, b=rsb = rs, c=pqc = pq, d=qrd = qr이므로 점P\mathrm{P}에 대응하는 행렬AA는 A=(psrspqqr)\displaystyle A = \begin{pmatrix} ps & rs \\ pq & qr \end{pmatrix}이다. 이 때, ps⋅qr−pq⋅rs=0ps \cdot qr - pq \cdot rs = 0이므로 행렬AA의 역행렬은 존재하지 않는다. 따라서, 정사각형 내부의 모든 점P\mathrm{P}에 대응하는 행렬AA의 역행렬은 존재하지 않으므로 ㄴ만 참이다.

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