확률과 통계확률분포수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

넓이 근삿값과 이항분포

문제

함수 $f ( x )$ 는 구간 $[ 0 , 1 ]$ 에서 연속이고 $f ( x ) \geq 0$ 이다. 다음은 직선 $x = 0$ , $x = 1$ , $y = 0$ 과 곡선 $y = f ( x )$ 로 둘러싸인 영역의 넓이 $S$ 의 근삿값을 컴퓨터를 활용하여 구하는 방법을 설명한 것이다.

구간 $[ 0 , 1 ]$ 에서 $f ( x )$ 의 최댓값을 $c$ 라고 하자. 점 ${\mathrm{O}} \mathit{(} 0 , 0 )$ , ${\mathrm{A}} \mathit{(} 1 , 0 )$ , ${\mathrm{B}} \mathit{(} 1 , c )$ , ${\mathrm{C}} \mathit{(} 0 , c )$ 를 꼭짓점으로 하는 사각형의 내부에 임의로 찍은 점이 곡선 $y = f ( x )$ 아래에 위치할 확률은 ${\square {( \text{가} )}}$ 이다. 컴퓨터를 이용하여 사각형 ${\mathrm{OABC}}$ 의 내부에 $n$ 개의 점을 임의로 찍는다. 이때, 곡선 $y = f ( x )$ 아래에 위치하는 점의 개수를 $X$ 라 하면, $X$ 의 확률분포는 ${\square {( \text{나} )}}$ 이다. 큰수의 법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{X}{n}$ 는 $n$ 이 한없이 커질 때 ${\square {( \text{가} )}}$ 에 한없이 가까워진다. 그러므로 $S$ 는 근사적으로 ${\square {( \text{다} )}}$ 임을 알 수 있다.

위에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

	(가)	(나)	(다)
①	$cS$	$N \left( cS , n \right)$	$\displaystyle \frac{X}{cn}$
②	$cS$	$B \left( n , cS \right)$	$\displaystyle \frac{X}{cn}$
③	$\displaystyle \frac{S}{c}$	$\displaystyle B \left( n ^{2} , \frac{S}{c} \right)$	$\displaystyle \frac{X}{n ^{2}} c$
④	$\displaystyle \frac{S}{c}$	$\displaystyle B \left( n , \frac{S}{c} \right)$	$\displaystyle \frac{X}{n} c$
⑤	$\displaystyle \frac{S}{c}$	$\displaystyle N \left( \frac{S}{c} , n \right)$	$\displaystyle \frac{X}{n} c$

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④

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해설

그림과 같이 사각형 $\mathrm{OABC}$ 의 내부에 임의로 찍은 점이 곡선 $y = f ( x )$ 아래에 위치할 확률은 $\displaystyle \frac{( y = f ( x ) \text{아래의} \text{넓이} )}{( \text{직사각형의} \text{넓이} )}$ $\displaystyle = \square {\frac{S}{c}}$ 사각형 $\mathrm{OABC}$ 의 내부에 $n$ 개의 점을 임의로 찍고, 이때 곡선 $y = f ( x )$ 아래에 위치하는 점의 개수를 $X$ 라 하면, $X$ 의 확률분포 $\mathrm{B} \mathit{(} n$ , $p )$ 는 $\displaystyle \square {\mathrm{B} \left( \mathit{n} , \frac{S}{c} \right)}$ 이다. 따라서, $\displaystyle \frac{X}{n}$ 는 $n$ 이 한없이 커지면 $\displaystyle \frac{S}{c}$ 에 한없이 가까워지므로 $S$ 는 근사적으로 $\displaystyle \square {\frac{X}{n} c}$ 임을 알 수 있다.

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