미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

넓이 등차수열

문제

함수 f(x)=−x2+x+2f ( x ) = - x ^{2} + x + 2에 대하여 그림과 같이 곡선 y=f(x)y = f ( x )와 xx축으로 둘러싸인 부분을 yy축과 직선 x=kx = k (0<k<20 < k < 2)로 나눈 세 부분의 넓이를 각각 S1\mathrm{S} _{1}, S2\mathrm{S} _{2}, S3\mathrm{S} _{3}이라 하자. S1\mathrm{S} _{1}, S2\mathrm{S} _{2}, S3\mathrm{S} _{3}이 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, S2\mathrm{S} _{2}의 값은? [4점]

①11②54\displaystyle \frac{5}{4}③43\displaystyle \frac{4}{3}④32\displaystyle \frac{3}{2}⑤22

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④

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해설

[출제의도] 정적분을 이용하여 넓이를 추론한다. S1\mathrm{S} _{1}, S2\mathrm{S} _{2}, S3\mathrm{S} _{3}이 등차수열을 이루므로 2S2=S1+S3\mathrm{2} S _{2} = {S _{1} + S _{3}}이다. 3S2\mathrm{3} S _{2}=S1+S2+S3\mathrm{=} S _{1} + S _{2} + S _{3}=∫−12f(x)dx\displaystyle = \mathit{\int} _{- 1} ^{2} {f ( x ) dx} =[−13x3+12x2+2x]−12\displaystyle = \left[ - \frac{1}{3} x ^{3} + \frac{1}{2} x ^{2} + 2 x \right] _{- 1} ^{2} =92\displaystyle = \frac{9}{2} ∴ S2=32\displaystyle \mathrm{S} _{2} = \frac{3}{2}

태그

#정적분과 넓이#등차중항

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