공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

넓이 차 제곱합 최솟값

문제

그림과 같이 좌표평면 위의 네 점 O(0,0)\mathrm{O} \left( 0 , 0 \right), A(1,0)\mathrm{A} \left( 1 , 0 \right), B(1,2)\mathrm{B} \left( 1 , 2 \right), C(0,1)\mathrm{C} \left( 0 , 1 \right)을 꼭짓점으로 하는 사각형 OABC\mathrm{OABC}가 있다. 실수 kk(0<k<10 < k < 1)에 대하여 직선 y=ky = k가 세 선분 OC\mathrm{OC}, OB\mathrm{OB}, AB\mathrm{AB}와 만나는 점을 각각 D\mathrm{D}, E\mathrm{E}, F\mathrm{F}라 하자. 삼각형 OED\mathrm{OED}의 넓이를 S1S _{1}, 사각형 OAFE\mathrm{OAFE}의 넓이를 S2S _{2}, 삼각형 EFB\mathrm{EFB}의 넓이를 S3S _{3}, 사각형 DEBC\mathrm{DEBC}의 넓이를 S4S _{4}라 할 때, (S1−S3)2+(S2−S4)2\left( S _{1} - S _{3} \right) ^{2} + \left( S _{2} - S _{4} \right) ^{2}의 최솟값은? [4점]

①18\displaystyle \frac{1}{8}②316\displaystyle \frac{3}{16}③14\displaystyle \frac{1}{4}④516\displaystyle \frac{5}{16}⑤38\displaystyle \frac{3}{8}

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①

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해설

[출제의도] 도형의 넓이와 이차함수의 최대, 최소 문제 해결하기 사각형 OABC\mathrm{OABC}의 넓이는 12×(1+2)×1=32\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( 1 + 2 \right) \times 1 = \frac{3}{2}이다. 두 점 O\mathrm{O}, B\mathrm{B}를 지나는 직선의 방정식은 y=2xy = 2 x이다. 직선 y=ky = k와 선분 OB\mathrm{OB}의 교점 E\mathrm{E}는 두 직선 y=ky = k, y=2xy = 2 x의 교점이다. 그러므로 점 E\mathrm{E}의 좌표는 (k2,k)\displaystyle \left( \frac{k}{2} , k \right)이다. S1=12×k2×k=k24\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \times \frac{k}{2} \times k = \frac{k ^{2}}{4}, S3=12×(1−k2)×(2−k)=(2−k)24\displaystyle S _{3} = \frac{1}{2} \times \left( 1 - \frac{k}{2} \right) \times \left( 2 - k \right) = \frac{\left( 2 - k \right) ^{2}}{4}이므로 S1−S3=k24−(2−k)24=k−1\displaystyle S _{1} - S _{3} = \frac{k ^{2}}{4} - \frac{\left( 2 - k \right) ^{2}}{4} = k - 1 이다. S1+S2=kS _{1} + S _{2} = k이므로 S2=k−k24\displaystyle S _{2} = k - \frac{k ^{2}}{4} S3+S4=32−k\displaystyle S _{3} + S _{4} = \frac{3}{2} - k이므로 S4=(32−k)−(2−k)24=2−k24\displaystyle S _{4} = \left( \frac{3}{2} - k \right) - \frac{\left( 2 - k \right) ^{2}}{4} = \frac{2 - k ^{2}}{4}이다. 그러므로 S2−S4=(k−k24)−2−k24=k−12\displaystyle S _{2} - S _{4} = \left( k - \frac{k ^{2}}{4} \right) - \frac{2 - k ^{2}}{4} = k - \frac{1}{2}이다. 따라서 (S1−S3)2+(S2−S4)2\left( S _{1} - S _{3} \right) ^{2} + \left( S _{2} - S _{4} \right) ^{2}=(k−1)2+(k−12)2\displaystyle = \left( k - 1 \right) ^{2} + \left( k - \frac{1}{2} \right) ^{2}=2k2−3k+54\displaystyle = 2 k ^{2} - 3 k + \frac{5}{4} =2(k−34)2+18(0<k<1)\displaystyle = 2 \left( k - \frac{3}{4} \right) ^{2} + \frac{1}{8} \left( 0 < k < 1 \right)이므로 (S1−S3)2+(S2−S4)2\left( S _{1} - S _{3} \right) ^{2} + \left( S _{2} - S _{4} \right) ^{2}은 k=34\displaystyle k = \frac{3}{4}일 때, 최솟값 18\displaystyle \frac{1}{8}을 갖는다. [다른 풀이] 사각형 OABC\mathrm{OABC}의 넓이는 12×(1+2)×1=32\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( 1 + 2 \right) \times 1 = \frac{3}{2}이다. S1+S2=kS _{1} + S _{2} = k …① 이므로 S3+S4=32−k\displaystyle S _{3} + S _{4} = \frac{3}{2} - k S2+S3=1S _{2} + S _{3} = 1 … ② 이므로 S1+S4=12\displaystyle S _{1} + S _{4} = \frac{1}{2} … ③ ①과 ②에서 S1−S3=k−1S _{1} - S _{3} = k - 1이고, ①과 ③에서 S2−S4=k−12\displaystyle S _{2} - S _{4} = k - \frac{1}{2}이다. 그러므로 (S1−S3)2+(S2−S4)2\left( S _{1} - S _{3} \right) ^{2} + \left( S _{2} - S _{4} \right) ^{2}=(k−1)2+(k−12)2\displaystyle = \left( k - 1 \right) ^{2} + \left( k - \frac{1}{2} \right) ^{2} =2k2−3k+54\displaystyle = 2 k ^{2} - 3 k + \frac{5}{4} =2(k−34)2+18\displaystyle = 2 \left( k - \frac{3}{4} \right) ^{2} + \frac{1}{8}(0<k<10 < k < 1)이다. 따라서 (S1−S3)2+(S2−S4)2\left( S _{1} - S _{3} \right) ^{2} + \left( S _{2} - S _{4} \right) ^{2}은 k=34\displaystyle k = \frac{3}{4}일 때, 최솟값 18\displaystyle \frac{1}{8}을 갖는다.

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#이차함수 최대최소#좌표

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