넓이 변화율

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기 $t$초가 되는 순간 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\left( 2 t , 0 \right)$ $\angle \mathrm{QOP} \mathit{=} \theta$라 하면, $\displaystyle \angle \mathrm{AOQ} \mathit{=} \frac{\pi}{3} - \theta$ 부채꼴 $\mathrm{OQA}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 10 ^{2} \times \left( \frac{\pi}{3} - \theta \right) = 50 \left( \frac{\pi}{3} - \theta \right)$ 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 10 \times 2 t \times \sin \theta = 10 t \sin \theta$ $\displaystyle S = 50 \left( \frac{\pi}{3} - \theta \right) + 10 t \sin \theta$ 양변을 $t$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \frac{dS}{dt} = - 50 \frac{d \theta}{dt} + 10 \sin \theta + 10 t \cos \theta \frac{d \theta}{dt}$$\cdots \cdots \text{㉠}$ 점 $\mathrm{P} \left( 2 \mathit{t} , 0 \right)$을 지나고 직선 $\displaystyle y = \sqrt{3} x$에 평행한 직선을 $l$이라 하면 직선 $l$의 방정식은 $\displaystyle y = \sqrt{3} \left( x - 2 t \right)$이고 직선 $l$과 원이 만나는 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\mathrm{Q} \left( 10 \cos \theta , 10 \sin \theta \right)$이므로 직선 $l$에 대입하면 $\displaystyle 10 \sin \theta = \sqrt{3} \left( 10 \cos \theta - 2 t \right)$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ $\text{㉡}$의 양변을 $t$에 대하여 미분하면 $\displaystyle 10 \cos \theta \frac{d \theta}{dt} = \sqrt{3} \left( - 10 \sin \theta \frac{d \theta}{dt} - 2 \right)$ $\cdots \cdots \text{㉢}$ 점 $\mathrm{Q}$의 $y$좌표가 $5$이므로 $\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{2}$, $\displaystyle \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$이고 $\text{㉡}$에서 $\displaystyle t = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$이고 $\text{㉢}$에서 $\displaystyle \frac{d \theta}{dt} = - \frac{1}{5}$이다. $\text{㉠}$에 의하여 $\displaystyle \frac{dS}{dt} = 10$