미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

넓이 비의 극한

문제

그림과 같이 곡선 y=4x−3\displaystyle y = \sqrt{4 x - 3} 위에 두 점 A(1,1)\mathrm{A} \left( 1 , 1 \right)과 P(t,4t−3)\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{t} , \sqrt{4 t - 3} \right)이 있다. 점 A\mathrm{A}에서 xx축에 내린 수선의 발을 B\mathrm{B}, 점 P\mathrm{P}에서 yy축에 내린 수선의 발을 Q\mathrm{Q}라 할 때, 삼각형 PAB\mathrm{PAB}와 삼각형 PQA\mathrm{PQA}의 넓이를 각각 S(t)S \left( t \right), T(t)T \left( t \right)라 하자. lim⁡t→1+T(t)S(t)\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 1 +} {\frac{T \left( t \right)}{S \left( t \right)}}의 값을 구하시오. (단, t>1t > 1) [4점]

y=4x−3\displaystyle y = \sqrt{4 x - 3}

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2

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해설

[출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기 P(t,4t−3)\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( t , \sqrt{4 t - 3} \right)}, Q(0,4t−3)\displaystyle \mathrm{Q} \mathit{\left( 0 , \sqrt{4 t - 3} \right)}이므로 S(t)=12×1×(t−1)\displaystyle S \left( t \right) = \frac{1}{2} \times 1 \times \left( t - 1 \right), T(t)=12×t×(4t−3−1)\displaystyle T \left( t \right) = \frac{1}{2} \times t \times \left( \sqrt{4 t - 3} - 1 \right) 따라서 lim⁡t→1+T(t)S(t)\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 1 +} {\frac{T \left( t \right)}{S \left( t \right)}}=lim⁡t→1+12×t×(4t−3−1)12×(t−1)\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 1 +} {\frac{\frac{1}{2} \times t \times \left( \sqrt{4 t - 3} - 1 \right)}{\frac{1}{2} \times \left( t - 1 \right)}} =lim⁡t→1+4t(t−1)(t−1)(4t−3+1)\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 1 +} {\frac{4 t \left( t - 1 \right)}{\left( t - 1 \right) \left( \sqrt{4 t - 3} + 1 \right)}} =2= 2

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#함수의 극한#넓이

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