네 수의 합의 분산

[출제의도] 표본평균의 성질을 이용하여 모집단의 확률분포를 추론한다. 주머니에서 임의로 꺼낸 한 개의 공에 적혀 있는 수를 확률변수 $Y$라 할 때, 확률변수 $Y$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

$X = 4$인 경우는 $4$개의 수가 모두 $1$이어야 하므로 ${\mathrm{P}} ( X = 4 ) = a ^{4}$ $\displaystyle a ^{4} = \frac{1}{81}$에서 $0 \leq a \leq 1$이므로 $\displaystyle a = \frac{1}{3}$ $X = 16$인 경우는 $4$개의 수가 모두 $4$이어야 하므로 ${\mathrm{P}} ( X = 16 ) = d ^{4}$ $\displaystyle 16 d ^{4} = \frac{1}{81}$에서 $0 \leq d \leq 1$이므로 $\displaystyle d = \frac{1}{6}$ $a + b + c + d = 1$이므로 $\displaystyle b + c = \frac{1}{2}$ $\cdots \cdots$ ㉠ 확인한 $4$개의 수의 표본평균을 $\displaystyle \overline{Y}$라 하면 $\displaystyle X = 4 \overline{Y}$이다. ${\mathrm{E}} ( X )$$\displaystyle = {\mathrm{E}} ( 4 \overline{Y} )$$\displaystyle = 4 {\mathrm{E}} ( \overline{Y} )$$= 4 {\mathrm{E}} ( Y )$ $\displaystyle = 4 \left( \frac{1}{3} + 2 b + 3 c + \frac{4}{6} \right)$$= 4 ( 1 + 2 b + 3 c )$ ${\mathrm{E}} ( X ) = 9$에서 $4 ( 1 + 2 b + 3 c ) = 9$이므로 $\displaystyle 2 b + 3 c = \frac{5}{4}$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle b = \frac{1}{4}$, $\displaystyle c = \frac{1}{4}$ ${\mathrm{V}} ( X )$$\displaystyle = {\mathrm{V}} ( 4 \overline{Y} )$$\displaystyle = 16 {\mathrm{V}} ( \overline{Y} )$$= 4 {\mathrm{V}} ( Y )$ $= 4 [ {\mathrm{E}} ( Y ^{2} ) - \left\{ {\mathrm{E}} ( Y ) \right\} ^{2} ]$ $\displaystyle = 4 \left\{ \left( \frac{1}{3} + \frac{4}{4} + \frac{9}{4} + \frac{16}{6} \right) - \left( \frac{9}{4} \right) ^{2} \right\}$ $\displaystyle = 4 \left( \frac{25}{4} - \frac{81}{16} \right)$$\displaystyle = \frac{19}{4}$ 따라서 $p = 4$, $q = 19$ 이므로 $p + q = 23$