확률과 통계확률의 뜻과 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

네 자리 수 대소 확률

문제

다섯 개의 숫자 $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ 를 중복 사용하여 만들 수 있는 네 자리의 자연수를 $a _{1} a _{2} a _{3} a _{4}$ 라 한다. 예를 들면, $1230$ 인 경우 $a _{1} = 1 , a _{2} = 2 ,$ $a _{3} = 3 , a _{4} = 0$ 이다. 이와 같이 네 자리 자연수 $a _{1} a _{2} a _{3} a _{4}$ 가 $a _{1} < a _{2} < a _{3}$ , $a _{3} > a _{4}$ 를 만족할 확률은 $\displaystyle \frac{q}{p}$ 이다. $p + q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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103

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해설

중복을 허락하여 만들 수 있는 네 자리 자연수는 $\displaystyle {} _{5} \prod _{4} - _{5} \prod _{3} = 625 - 125 = 500$ 가지 $a _{1} < a _{2} < a _{3}$ 이므로 $a _{3}$ 는 $3$ 또는 $4$ 이다. (ⅰ) $a _{3} = 3$ 일 때 $a _{1} < a _{2} < a _{3}$ 이므로, $a _{1} = 1$ , $a _{2} = 2$ 이고 $a _{4}$ 는 $0 , 1 , 2$ 중 한 가지이므로 $3$ 가지 (ⅱ) $a _{3} = 4$ 일 때 $a _{1} , a _{2}$ 는 $1 , 2 , 3$ 중 $2$ 개의 수를 선택하여 큰 수가 $a _{2}$ , 작은 수가 $a _{1}$ ( $a _{1} \ne 0$ )이다. 따라서, $a _{1} , a _{2}$ 가 될 수 있는 경우는 ${} _{3} {\mathrm{C}} _{2} = 3$ 가지, $a _{4}$ 는 $0 , 1 , 2 , 3$ 중 한 가지이므로 $4$ 가지이다. 조건에 맞는 경우의 수는 ${} _{3} {\mathrm{C}} _{2} \times 4 = 12$ 가지 구하고자 하는 확률은 $\displaystyle \frac{3 + 12}{500} = \frac{3}{100}$ $\therefore$ $p + q = 103$

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