공통수학2도형의 이동AI기본 문제 (3점 중반)

네 번마다 되풀이되는 이동

문제

좌표평면 위의 점 $\mathrm{P} _{1}$ 의 좌표는 $( 3 , 1 )$ 이고, 자연수 $n$ 에 대하여 점 $\mathrm{P} _{n + 1}$ 은 점 $\mathrm{P} _{n}$ 을 $x$ 축에 대하여 대칭이동한 후 직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이동한 점이다. 점 $\mathrm{P} _{50}$ 의 좌표는? [3점] ① $( - 3 , - 1 )$ ② $( 1 , - 3 )$ ③ $( 3 , 1 )$ ④ $( - 1 , 3 )$ ⑤ $( 1 , 3 )$

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④

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해설

점 $( x , y )$ 를 $x$ 축에 대하여 대칭이동하면 $( x , - y )$ 이고, 이를 직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이동하면 $( - y , x )$ 이므로 점 $\mathrm{P} _{n} \mathit{(} x , y )$ 이면 $\mathrm{P} _{n + 1} \mathit{(} - y , x )$ 이다. $\mathrm{P} _{1} \mathit{(} 3 , 1 )$ 에서 차례로 $\mathrm{P} _{2} \mathit{(} - 1 , 3 )$ , $\mathrm{P} _{3} \mathit{(} - 3 , - 1 )$ , $\mathrm{P} _{4} \mathit{(} 1 , - 3 )$ , $\mathrm{P} _{5} \mathit{(} 3 , 1 )$ 즉, 점의 위치는 $4$ 번마다 되풀이된다. $50 = 4 \times 12 + 2$ 이므로 $\mathrm{P} _{50}$ 은 $\mathrm{P} _{2}$ 와 같다. 따라서 $\mathrm{P} _{50} \mathit{(} - 1 , 3 )$ 이므로 답은 ④

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