대수등차수열과 등비수열수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

나선형 수 배열에서 이웃한 수 찾기

문제

그림과 같이 자연수 $1 , 2 , 3 , 4 , \cdots$ 를 나선 모양으로 차례로 적을 때, $1000$ 과 이웃한 $8$ 개의 수 중에서 가장 작은 것은? [4점]


$17$	$16$	$15$	$14$	$13$
$18$	$5$	$4$	$3$	$12$
$19$	$6$	$1$	$2$	$11$
$20$	$7$	$8$	$9$	$10$
$21$	$22$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$

① $868$ ② $872$ ③ $876$ ④ $880$ ⑤ $884$

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③

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해설

$2$ 부터 $( 2 n + 1 ) ^{2} - ( 2 n - 1 ) ^{2} = 8 n$ 씩 묶어서 군으로 생각하면 $n$ 군의 가장 큰 수는 $( 2 n + 1 ) ^{2}$ 이다. $( 2 \cdot 14 + 1 ) ^{2} = 841$ $( 2 \cdot 15 + 1 ) ^{2} = 961$ $( 2 \cdot 16 + 1 ) ^{2} = 1089$ 이므로 $1000$ 은 $16$ 군의 $39$ 번째 수이다. $n$ 군은 ⇧ ⇦ ⇩ ⇨ 순으로 $2 n$ 개의 수가 나열되므로 구하는 수는 그림과 같이 $15$ 군의 $35$ 번째 수이다.

$1000$	⇦ $+ 7$				$993$
	$876$	⇦ $+ 5$		$871$	⇧ $+ 32$
				⇧ $+ 30$



			$841$
				$961$
					$1089$

따라서 구하는 수는 $841 + 35 = 876$ 이다.

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