공통수학2평면좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

나폴레옹 삼각형 넓이

문제

다음은 나폴레옹 삼각형에 대한 설명이다.

임의의 삼각형 ABC\mathrm{ABC}에 대하여 변 AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC}, CA\mathrm{CA}를 한 변으로 하는 세 개의 정삼각형 ADB\mathrm{ADB}, BEC\mathrm{BEC}, CFA\mathrm{CFA}를 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 외부에 그린다. 세 정삼각형 ADB\mathrm{ADB}, BEC\mathrm{BEC}, CFA\mathrm{CFA}의 무게중심을 각각 X\mathrm{X}, Y\mathrm{Y}, Z\mathrm{Z}라 하면 삼각형 XYZ\mathrm{XYZ}는 정삼각형이 되고 이 삼각형을 ‘나폴레옹 삼각형’이라 한다. (단, 모든 점은 같은 평면 위에 있다.)D\mathrm{D} A\mathrm{A} B\mathrm{B} C\mathrm{C} E\mathrm{E} F\mathrm{F} X\mathrm{X} Y\mathrm{Y} Z\mathrm{Z}

좌표평면 위의 점 A(−1\mathrm{A} ( - 1, 23)\displaystyle 2 \sqrt{3} ) , B(−1\mathrm{B} ( - 1, 0)0 ) , C(1\mathrm{C} ( 1, 0)0 ) 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC\mathrm{ABC}에서 얻어지는 나폴레옹 삼각형 XYZ\mathrm{XYZ}의 넓이는? [4점] ①534\displaystyle \frac{5 \sqrt{3}}{4}②433\displaystyle \frac{4 \sqrt{3}}{3}③533\displaystyle \frac{5 \sqrt{3}}{3}④734\displaystyle \frac{7 \sqrt{3}}{4}⑤733\displaystyle \frac{7 \sqrt{3}}{3}

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⑤

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해설

[출제의도] 삼각형의 무게중심의 성질 이용하여 문제 해결하기 △ADB\mathrm{\triangle} ADB에서 D(−4,3)\displaystyle \mathrm{D} ( - 4 , \sqrt{3} )이므로 무게중심의 좌표는 X(−2,3)\displaystyle \mathrm{X} \left( - 2 , \sqrt{3} \right) △BEC\mathrm{\triangle} BEC에서 E(0,−3)\displaystyle \mathrm{E} ( 0 , - \sqrt{3} )이므로 무게중심의 좌표는 Y(0,−33)\displaystyle \mathrm{Y} \left( 0 , - \frac{\sqrt{3}}{3} \right) 정삼각형 XYZ\mathrm{XYZ}의 한 변의 길이는 XY‾=283\displaystyle \mathrm{\overline{XY}} = \sqrt{\frac{28}{3}}이므로 넓이는 34×283=733\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{28}{3} = \frac{7 \sqrt{3}}{3}이다.

태그

#무게중심#정삼각형

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