미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

나머지와 수열의 극한

문제

n≥2n \geq 2인 자연수 nn에 대하여 다항식 (x+1)n( x + 1 ) ^{n}을 x2−3x+2x ^{2} - 3 x + 2로 나눈 나머지를 R(x)R ( x )라 할 때, lim⁡n→∞R(0)3n+2n\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{R ( 0 )}{3 ^{n} + 2 ^{n}}의 값은? [4점] ①22②11③00④−1- 1⑤−2- 2

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④

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해설

[출제의도] 나머지 정리를 활용하여 극한값을 구하기 (x+1)n=(x−1)(x−2)Q(x)+ax+b( x + 1 ) ^{n} = ( x - 1 ) ( x - 2 ) Q ( x ) + ax + b러 하면 R(x)=ax+bR ( x ) = ax + b이다. x=1x = 1을 대입하면 2n=a+b2 ^{n} = a + b x=2x = 2을 대입하면 3n=2a+b3 ^{n} = 2 a + b ∴a=3n−2n\therefore a = 3 ^{n} - 2 ^{n}, b=−3n+2n+1b = - 3 ^{n} + 2 ^{n+1} R(0)=−3n+2n+1R ( 0 ) = - 3 ^{n} + 2 ^{n+1} lim⁡n→∞−3n+2n+13n+2n=−1\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{- 3 ^{n} + 2 ^{n+1}}{3 ^{n} + 2 ^{n}} = - 1

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