공통수학2함수AI기본 문제 (3점 중반)

나머지로 정의된 함수의 함숫값의 합

문제

집합 X={1,2,3,⋯ ,20}X = \left\{ 1 , 2 , 3 , \cdots , 20 \right\}에서 집합 Y={0,1,2,3,4}Y = \left\{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 \right\}로의 함수 ff를 f(x)=f ( x ) =(3x3 ^{x}을 55로 나눈 나머지) 로 정의하자. f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(20)f ( 1 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + \cdots + f ( 20 )의 값을 구하시오. [3점]

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50

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해설

31=33 ^{1} = 3, 32=93 ^{2} = 9, 33=273 ^{3} = 27, 34=813 ^{4} = 81을 각각 55로 나눈 나머지는 3,4,2,13 , 4 , 2 , 1이므로 f(1)=3f ( 1 ) = 3, f(2)=4f ( 2 ) = 4, f(3)=2f ( 3 ) = 2, f(4)=1f ( 4 ) = 1 34=81=5×16+13 ^{4} = 81 = 5 \times 16 + 1이므로 3x+4=3x×813 ^{x + 4} = 3 ^{x} \times 81을 55로 나눈 나머지는 3x3 ^{x}을 55로 나눈 나머지와 같다. 즉 모든 xx에 대하여 f(x+4)=f(x)f ( x + 4 ) = f ( x )이므로 함숫값은 3,4,2,13 , 4 , 2 , 1이 반복된다. f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=3+4+2+1=10f ( 1 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + f ( 4 ) = 3 + 4 + 2 + 1 = 10이고 11부터 2020까지는 이 묶음이 55번 있으므로 따라서 f(1)+f(2)+⋯+f(20)=10×5=50f ( 1 ) + f ( 2 ) + \cdots + f ( 20 ) = 10 \times 5 = 50

태그

#함숫값#나머지#반복

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