미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

나머지정리와 극한

문제

자연수 nn에 대하여 다항식 f(x)=2nx2+3nx+1f ( x ) = 2 ^{n} x ^{2} + 3 ^{n} x + 1을 x−1x - 1, x−2x - 2로 나눈 나머지를 각각 an,bna _{n} , b _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞anbn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{a _{n}}{b _{n}}의 값은? [3점] ①00②14\displaystyle \frac{1}{4}③13\displaystyle \frac{1}{3}④12\displaystyle \frac{1}{2}⑤11

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④

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해설

f(x)f ( x )를 (x−1)( x - 1 )로 나눈 나머지는 f(1)=2n+3n+1=anf ( 1 ) = 2 ^{n} + 3 ^{n} + 1 = a _{n} f(x)f ( x )를 (x−2)( x - 2 )로 나눈 나머지는 f(2)=4⋅2n+2⋅3n+1=bnf ( 2 ) = 4 \cdot 2 ^{n} + 2 \cdot 3 ^{n} + 1 = b _{n} lim⁡n→∞anbn=lim⁡n→∞2n+3n+14⋅2n+2⋅3n+1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{a _{n}}{b _{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{2 ^{n} + 3 ^{n} + 1}{4 \cdot 2 ^{n} + 2 \cdot 3 ^{n} + 1}=lim⁡n→∞(23)n+1+1(13)n4⋅(23)n+2⋅1+(13)n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\left( \frac{2}{3} \right) ^{n} + 1 + 1 \left( \frac{1}{3} \right) ^{n}}{4 \cdot \left( \frac{2}{3} \right) ^{n} + 2 \cdot 1 + \left( \frac{1}{3} \right) ^{n}}=12\displaystyle = \frac{1}{2}

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