미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

나머지정리 급수

문제

모든 자연수 nn에 대하여 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 다음 두 조건을 만족시킨다. 이때 ∑n=1∞an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n}의 값은? [3점]

(가) an≠0a _{n} \ne 0 (나) xx에 대한 다항식 anx2+anx+2a _{n} x ^{2} + a _{n} x + 2를 x−nx - n으로 나눈 나머지가 2020이다.

①1010②1212③1414④1616⑤1818

정답 보기
⑤

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 무한급수와 나머지 정리를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 f(x)=anx2+anx+2f ( x ) = a _{n} x ^{2} + a _{n} x + 2라고 하면 f(x)f ( x )를 x−nx - n으로 나눈 나머지는 f(n)=ann2+ann+2=20f ( n ) = a _{n} n ^{2} + a _{n} n + 2 = 20 an=18n(n+1)=18(1n−1n+1)\displaystyle a _{n} = \frac{18}{n ( n + 1 )} = 18 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right) ∑n=1∞an=∑n=1∞18(1n−1n+1)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} 18 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right) =18lim⁡n→∞{(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)}\displaystyle = 18 \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right) \right\}} =18= 18

태그

#급수#부분분수

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 급수 문제 모음수능 문제 모음기본 문제 모음
← 전체 문제 목록으로