미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

나머지 수열의 급수

문제

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 을 다음과 같이 정의한다.‘가’형

(가) $a _{1} = 2$ (나) $a _{n + 1} =$ ( ${a _{n} ^{2} + a _{n}}$ 을 $5$ 로 나눈 나머지) ( $n = 1$ , $2$ , $3$ , $\cdots$ )

$\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{a _{n}}{3 ^{n}} = \frac{q}{p}$ 일 때, $p + q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ , $q$ 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 은 $2 , 1 , 2 , 1 , 2 , 1 , \cdots$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{a _{n}}{3 ^{n}} = \left( \frac{2}{3} + \frac{2}{3 ^{3}} + \frac{2}{3 ^{5}} + \cdots \right) + \left( \frac{1}{3 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{4}} + \frac{1}{3 ^{6}} + \cdots \right)$ $\displaystyle = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{9}} + \frac{\frac{1}{9}}{1 - \frac{1}{9}}$ $\displaystyle = \frac{3}{4} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ ∴ $p + q = 8 + 7 = 15$

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