나머지 조건 순서쌍

[출제의도] 중복조합 이해하기 (나)에서 자연수 $x$, $y$, $z$, $w$ 중 $3$으로 나눈 나머지가 $1$인 수 $2$개를 선택하고 $3$으로 나눈 나머지가 $2$인 수 $2$개를 선택하는 경우의 수는 ${} _{4} \mathrm{C} _{2} \times _{2} C _{2} = 6$ $x$, $y$가 $3$으로 나눈 나머지가 $1$인 수, $z$, $w$는 $3$으로 나눈 나머지가 $2$인 수라 하면 $x = 3 x' + 1$, $y = 3 y' + 1$, $z = 3 z' + 2$, $w = 3 w' + 2$ $($$x'$, $y'$, $z'$, $w'$은 음이 아닌 정수$)$ (가)에서 $x + y + z + w = 18$ $( 3 x' + 1 ) + ( 3 y' + 1 ) + ( 3 z' + 2 ) + ( 3 w' + 2 ) = 18$ $x' + y' + z' + w' = 4 \cdots \cdots \text{㉠}$ 이때 $\text{㉠}$을 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개수는 $4$개의 문자 $x'$, $y'$, $z'$, $w'$에서 $4$개를 선택하는 중복조합의 수와 같으므로 ${} _{4} \mathrm{H} _{4} =$${} _{4 + 4 - 1} \mathrm{C} _{4} = _{7} C _{4} = 35$ 따라서 모든 순서쌍 $\left( x , y , z , w \right)$의 개수는 $6 \times 35 = 210$