미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

나머지 계수비의 극한

문제

다항식 xn+1+xnx ^{n + 1} + x ^{n}을 x2−5x+6x ^{2} - 5 x + 6으로 나눈 나머지를 anx+bna _{n} x + b _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞bnan\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{b _{n}}{a _{n}}}의 값은? (단, nn은 자연수이다.) [3점] ①−3- 3②−2- 2③−1- 1④11⑤22

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②

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해설

[출제의도] 수열의 극한값 이해하기 f(x)=xn+1+xnf ( x ) = x ^{n + 1} + x ^{n}을 x2−5x+6x ^{2} - 5 x + 6으로 나눈 몫을 Q(x)Q ( x )라 하면 f(x)=xn+1+xnf ( x ) = x ^{n + 1} + x ^{n} =(x−2)(x−3)Q(x)+anx+bn= ( x - 2 ) ( x - 3 ) Q ( x ) + a _{n} x + b _{n} f(2)=2n+1+2n=2an+bnf ( 2 ) = 2 ^{n + 1} + 2 ^{n} = 2 a _{n} + b _{n} f(3)=3n+1+3n=3an+bnf ( 3 ) = 3 ^{n + 1} + 3 ^{n} = 3 a _{n} + b _{n}에서 an=4⋅3n−3⋅2na _{n} = 4 \cdot 3 ^{n} - 3 \cdot 2 ^{n}, bn=−8⋅3n+9⋅2nb _{n} = - 8 \cdot 3 ^{n} + 9 \cdot 2 ^{n}이므로 lim⁡n→∞bnan=lim⁡n→∞−8⋅3n+9⋅2n4⋅3n−3⋅2n=−2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{b _{n}}{a _{n}}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{- 8 \cdot 3 ^{n} + 9 \cdot 2 ^{n}}{4 \cdot 3 ^{n} - 3 \cdot 2 ^{n}}} = - 2

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