내심이 나누는 이등분선의 비로 둘레 구하기

실마리: 내심 $\mathrm{I}$는 $\angle \mathrm{B}$의 이등분선 위에도 있으므로 삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 각의 이등분선 정리를 한 번 더 쓴다. 내심 $\mathrm{I}$는 $\angle \mathrm{A}$의 이등분선 위에 있으므로 $\mathrm{AD}$는 $\angle \mathrm{A}$의 이등분선이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{AC}} = \overline{\mathrm{BD}} : \overline{\mathrm{DC}} = \mathit{8} : 6 = 4 : 3$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \mathit{4} k$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = \mathit{3} k$ ($k > 0$)라 하자. 삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 $\mathrm{BI}$는 $\angle \mathrm{ABD}$의 이등분선이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AI}} : \overline{\mathrm{ID}} = \overline{\mathrm{BA}} : \overline{\mathrm{BD}} = \mathit{4} k : 8$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AI}} : \overline{\mathrm{ID}} = \mathit{5} : 2$이므로 $4 k \times 2 = 8 \times 5$ $k = 5$ 즉, $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \mathit{20}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = \mathit{15}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = \mathit{8} + 6 = 14$ 따라서 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 둘레의 길이는 $20 + 15 + 14 = 49$이다. (검산: 삼각형 $\mathrm{ACD}$에서 $\mathrm{CI}$는 $\angle \mathrm{ACD}$의 이등분선이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AI}} : \overline{\mathrm{ID}} = \overline{\mathrm{CA}} : \overline{\mathrm{CD}} = \mathit{15} : 6 = 5 : 2$로 조건과 같다.)