내심과 수선의 발 거리

삼각형 ${\mathrm{ABC}}$의 넓이가 $204$이므로 $\displaystyle \triangle {\mathrm{ABC}} \frac{= \mathit{1}}{2} \times {\overline{\mathrm{BC}}} \times {\overline{\mathrm{AH}}} = \frac{1}{2} \times 17 \times {\overline{\mathrm{AH}}} = 204$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} = 24$ 직각삼각형 ${\mathrm{AHC}}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2} \mathit{=} {\overline{\mathrm{AH}}} ^{2} \mathit{+} {\overline{\mathrm{HC}}} ^{2}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{HC}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2} \mathit{-} {\overline{\mathrm{AH}}} ^{2}$$= 26 ^{2} - 24 ^{2} = 100$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{HC}}} = 10$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BH}}} = {\overline{\mathrm{BC}}} - {\overline{\mathrm{HC}}} = 17 - 10 = 7$ 직각삼각형 ${\mathrm{ABH}}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{BH}}} ^{2} \mathit{+} {\overline{\mathrm{AH}}} ^{2}$$= 7 ^{2} + 24 ^{2} = 625$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 25$ 점 ${\mathrm{I}}$에서 세 변 ${\mathrm{AB}}$, ${\mathrm{BC}}$, ${\mathrm{CA}}$에 내린 수선의 발을 각각 ${\mathrm{J}}$, ${\mathrm{K}}$, ${\mathrm{L}}$이라 하자. 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$의 내접원의 반지름의 길이를 $r$라 하면 삼각형의 내심의 성질에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{IJ}}} = {\overline{\mathrm{IK}}} = {\overline{\mathrm{IL}}} = r$ $\triangle {\mathrm{ABC}}$$= \triangle {\mathrm{IAB}} \mathit{+} \triangle {\mathrm{IBC}} \mathit{+} \triangle {\mathrm{ICA}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times r + \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{BC}}} \times r + \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{CA}}} \times r$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( 25 + 17 + 26 \right) \times r$$= 34 r$ $34 r = 204$에서 $r = 6$ 두 직각삼각형 ${\mathrm{IKC}}$, ${\mathrm{ILC}}$에서 $\angle {\mathrm{IKC}} = \mathit{\angle} {\mathrm{ILC}} = \mathit{90} ^\circ$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{IK}}} = {\overline{\mathrm{IL}}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{IC}}}$는 공통이므로 두 직각삼각형 ${\mathrm{IKC}}$, ${\mathrm{ILC}}$는 서로 합동이다. 그러므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CK}}} = {\overline{\mathrm{CL}}}$ 같은 방법으로 두 직각삼각형 ${\mathrm{\text{열} ICB}}$, ${\mathrm{\left( 5 + 1 \right)}}$가 서로 합동이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AL}}} = {\overline{\mathrm{AJ}}}$, 두 직각삼각형 ${\mathrm{IJB}}$, ${\mathrm{IKB}}$가 서로 합동이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BJ}}} = {\overline{\mathrm{BK}}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{HK}}} = x$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CK}}} = {\overline{\mathrm{CL}}} = 10 - x$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AL}}} = {\overline{\mathrm{AJ}}} = 26 - \left( 10 - x \right) = 16 + x$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BJ}}} = {\overline{\mathrm{BK}}} = 25 - \left( 16 + x \right) = 9 - x$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{BK}}} + {\overline{\mathrm{KC}}}$$= \left( 9 - x \right) + \left( 10 - x \right)$$= 19 - 2 x = 17$ $2 x = 2$, $x = 1$ 직각삼각형 ${\mathrm{IHK}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{HK}}} = 1$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{IK}}} = 6$ 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{IH}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{HK}}} ^{2} \mathit{+} {\overline{\mathrm{IK}}} ^{2} \mathit{=} 1 ^{2} + 6 ^{2}$$= 37$