내접원과 삼각형 넓이 극한

삼각형 $A _{n} OB _{n}$에 내접하는 원의 반지름의 길이를 $r _{n}$이라 하면 $C _{n}$의 좌표는 $C _{n} \left( n - r _{n} , r _{n} \right)$ 점 $C _{n}$에서 직선 $x - ny = 0$까지의 거리가 $r _{n}$이므로 $\displaystyle \frac{\left| n - r _{n} - nr _{n} \right|}{\sqrt{1 ^{2} + \left( - n \right) ^{2}}} = r _{n}$ $\displaystyle \left| n - \left( n + 1 \right) r _{n} \right| = \sqrt{n ^{2} + 1} \times r _{n}$ 그런데 $\displaystyle \overline{A _{n} B _{n}} = 1$에서 $\displaystyle r _{n} < \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle n - \left( n + 1 \right) r _{n} > 0 \left( \because r _{n} < \frac{n}{n + 1} \right)$ 따라서 $\displaystyle n - \left( n + 1 \right) r _{n} = \sqrt{n ^{2} + 1} \times r _{n}$이므로 $\displaystyle r _{n} = \frac{n}{n + 1 \sqrt{n ^{2} + 1}}$ $\displaystyle \therefore S _{n} = \frac{1}{2} \times \overline{OA _{n}} \times r _{n}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \sqrt{n ^{2} + 1} \times \frac{n}{n + 1 + \sqrt{n ^{2} + 1}}$ $\displaystyle = \frac{n \sqrt{n ^{2} + 1}}{2 \left( n + 1 + \sqrt{n ^{2} + 1} \right)}$ $\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{S _{n}}{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{n \sqrt{n ^{2} + 1}}{2 n \left( n + 1 + \sqrt{n ^{2} + 1} \right)}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\sqrt{1 + \frac{1}{n ^{2}}}}{2 \left( 1 + \frac{1}{n} + \sqrt{1 + \frac{1}{n ^{2}}} \right)}}$ $\displaystyle = \frac{1}{4}$