내접원과 외접원 넓이

[출제의도] 사인법칙을 이용하여 삼각형의 외접원의 넓이를 구한다.

삼각형 $\mathrm{ABC}$에 내접하는 원이 세 선분 $\mathrm{CA}$, $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$라 하자. $\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} = {\overline{OR}} = 3$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{DR}} = {\overline{DB}} - {\overline{RB}} = 1$ $\displaystyle \mathrm{\overline{DO}} = \sqrt{3 ^{2} + 1 ^{2}} = \sqrt{10}$이므로 $\displaystyle \sin \left( \mathrm{\angle} DOR \right) = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$ 삼각형 $\mathrm{DOR}$와 삼각형 $\mathrm{OAQ}$는 닮음비가 $1 : 3$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} = 3 \times {\overline{OR}} = 9$ 이때 점 $\mathrm{O}$가 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 내심이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} = {\overline{AQ}} = 9$, $\mathrm{\angle} CAD = \angle DAB$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} : {\overline{AC}} = {\overline{BD}} : {\overline{DC}}$, $\displaystyle \mathrm{12} : \left( 9 + {\overline{CP}} \right) = 4 : \left( {\overline{CR}} - 1 \right)$ $\displaystyle \mathrm{9} + {\overline{CP}} = 3 \left( {\overline{CR}} - 1 \right)$ 이때 $\displaystyle \mathrm{\overline{CP}} = {\overline{CR}}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{CR}} = 6$, 즉 $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} = 5$ 직선 $\mathrm{OR}$와 직선 $\mathrm{AB}$가 평행하므로 $\mathrm{\angle} DAB$$\mathrm{=} \mathrm{\angle} DOR$, 즉 $\mathrm{\angle} CAD = \angle DOR$ 삼각형 $\mathrm{ADC}$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$라 하면 사인법칙에 의하여 $\displaystyle 2 R = \frac{\mathrm{\overline{CD}}}{\sin \left( \angle \mathrm{CAD} \right)}$$\displaystyle = 5 \sqrt{10}$ $\displaystyle R = \frac{5 \sqrt{10}}{2}$이므로 삼각형 $\mathrm{ADC}$의 외접원의 넓이는 $\displaystyle \frac{125}{2} \pi$이다.