내접원과 외접원

[출제의도] 삼각형의 내심과 외심의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.

위의 그림과 같이 내접원의 중심에서 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 세 변에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$라 하자. $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} = \mathit{x}$라 놓으면 내접원의 성질에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}}$$\displaystyle \mathrm{=} \overline{CE}$$= 2$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}}$$\displaystyle \mathrm{=} \overline{BF}$$\mathrm{=} 10$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}}$$\displaystyle \mathrm{=} \overline{AE}$$= x$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 내접원의 반지름의 길이가 $2$이므로 이것을 이용하여 삼각형의 넓이를 구하면 $\mathrm{\triangle} ABC$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} \times 2 \times \left( \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 2 \times \left\{ ( x + 10 ) + 12 + ( 2 + x ) \right\}$ $= 2 x + 24$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 다른 방법으로 넓이를 구하면 $\mathrm{\triangle} ABC$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{BC}} \times \overline{AC}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 12 \times \left( x + 2 \right)$ $= 6 x + 12$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡이 서로 같으므로 $2 x + 24 = 6 x + 12$에서 $x = 3$ 따라서 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$의 빗변 $\mathrm{AB}$의 길이는 $13$이다. 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 빗변 $\mathrm{AB}$는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 지름이다. 그러므로 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 둘레의 길이는 $13 \pi$이다. [다른 풀이]

위의 그림과 같이 내접원의 중심에서 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 세 변에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$라 하자. $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} = \mathit{x}$라 놓으면 내접원의 성질에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}}$$\displaystyle \mathrm{=} \overline{CE}$$= 2$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}}$$\displaystyle \mathrm{=} \overline{BF}$$\mathrm{=} 10$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}}$$\displaystyle \mathrm{=} \overline{AE}$$= x$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} ^{2} = {\overline{BC}} ^{2} + {\overline{CA}} ^{2}$ $\left( x + 10 \right) ^{2}$$= 12 ^{2} + \left( 2 + x \right) ^{2}$ $x ^{2} + 20 x + 100 = 144 + 4 + 4 x + x ^{2}$ $16 x = 48$에서 $x = 3$ 따라서 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$의 빗변 $\mathrm{AB}$의 길이는 $13$이다. 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 빗변 $\mathrm{AB}$는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 지름이다. 그러므로 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 둘레의 길이는 $13 \pi$이다.