내접원과 곱셈공식

$\mathrm{\angle} H \Pi = 90 ^\circ$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{HI}} = {\overline{OP}}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{HI}} = 4$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{PH}} = \mathit{x}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{P \mathrm{I}}} = \mathit{y}$라 하면 삼각형 $\mathrm{P} \mathrm{I} H$에서 $x ^{2} + y ^{2} = 16$$\cdots \cdots$ ㉠ 삼각형 $\mathrm{P} \mathrm{I} H$의 내접원의 반지름의 길이를 $r$라 하면 $\displaystyle \pi r ^{2} = \frac{\pi}{4}$에서 $\displaystyle r = \frac{1}{2}$ 삼각형 $\mathrm{P} \mathrm{I} H$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} xy = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times ( x + y + 4 )$ $\displaystyle xy = \frac{1}{2} ( x + y + 4 )$에서 $x + y = 2 ( xy - 2 )$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $4 ( xy - 2 ) ^{2} - 2 xy = 16$, $xy ( 2 xy - 9 ) = 0$ $xy \ne 0$이므로 $\displaystyle xy = \frac{9}{2}$ $\cdots \cdots$ ㉢ ㉡, ㉢에서 $x + y = 5$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PH}} ^{3} + {\overline{P \mathrm{I}}} ^{3}$$= x ^{3} + y ^{3}$ $= ( x + y ) ^{3} - 3 xy ( x + y )$$\displaystyle = 5 ^{3} - 3 \times \frac{9}{2} \times 5$$\displaystyle = \frac{115}{2}$