미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

내접원 삼각형 급수

문제

그림과 같이 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \overline{PR} = 2$ 이고 $\mathrm{\angle} QPR = 90 ^\circ$ 인 삼각형 $\mathrm{PQR}$ 의 내접원과 세 변 $\mathrm{PQ}$ , $\mathrm{QR}$ , $\mathrm{RP}$ 의 접점을 각각 $\mathrm{P} _{1}$ , $\mathrm{Q} _{1}$ , $\mathrm{R} _{1}$ 이라 하자. 또, 삼각형 $\mathrm{PP} _{1} R _{1}$ 의 내접원과 세 변 $\mathrm{PP} _{1}$ , $\mathrm{P} _{1} R _{1}$ , $\mathrm{R} _{1} P$ 의 접점을 각각 $\mathrm{P} _{2}$ , $\mathrm{Q} _{2}$ , $\mathrm{R} _{2}$ 라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 세 점 $\mathrm{P} _{\mathit{n}}$ , $\mathrm{Q} _{\mathit{n}}$ , $\mathrm{R} _{\mathit{n}}$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm{P} _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n}} R _{\mathit{n}}$ 의 넓이를 $S _{n}$ 이라 할 때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n} = {p + q \sqrt{2}}$ 를 만족시키는 두 유리수 $p , q$ 의 합 $p + q$ 의 값은? [4점] ① $\displaystyle \frac{1}{7}$ ② $\displaystyle \frac{2}{7}$ ③ $\displaystyle \frac{3}{7}$ ④ $\displaystyle \frac{4}{7}$ ⑤ $\displaystyle \frac{5}{7}$

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④

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해설

삼각형 $\mathrm{PQR}$ 의 내접원의 반지름을 $a _{1}$ 이라 하면 $\displaystyle \sqrt{2} a _{1} + a _{1} = \sqrt{2}$ 에서 $\displaystyle a _{1} = 2 - \sqrt{2}$ 이고 $\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \times ( 2 \sqrt{2} - 2 ) \times 1 = \sqrt{2} - 1$

삼각형 $\mathrm{PP} _{\mathit{n} - 1} R _{\mathit{n} - 1}$ 의 내접원의 반지름을 $a _{n}$ 이라 하면 $\displaystyle \sqrt{2} a _{n} + a _{n} = \frac{\sqrt{2} a _{n - 1}}{2}$ ∴ $\displaystyle a _{n} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} a _{n - 1}$ 따라서 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 이 공비가 $\displaystyle \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}$ 인 등비수열을 이루므로 수열 $\left\{ S _{n} \right\}$ 은 공비가 $\displaystyle \left( \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} \right) ^{2} = \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{2}$ 인 등비수열을 이룬다. ∴ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n} = \frac{\sqrt{2} - 1}{1 - \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{2}} = \frac{6 - 2 \sqrt{2}}{7}$ ∴ $\displaystyle p + q = \frac{4}{7}$

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