내접원 외접원 극한

[출제의도] 도형의 성질을 이용하여 극한에 관한 문제를 해결한다. 점 $\mathrm{Q} _{\mathit{n}}$은 직선 $\displaystyle y = \sqrt{3} x$ 위의 점이므로 $\mathrm{Q} _{\mathit{n}}$$\displaystyle \left( \frac{1}{n} , \frac{\sqrt{3}}{n} \right)$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{OP _{\mathit{n}}}}$$= p _{n}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{OQ _{\mathit{n}}}}$$= q _{n}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{P _{\mathit{n}} \mathrm{Q} _{\mathit{n}}}}$$= r _{n}$이라 하면 $p _{n}$$= n$ $q _{n}$$\displaystyle = \sqrt{\left( \frac{1}{n} \right) ^{2} + \left( \frac{\sqrt{3}}{n} \right) ^{2}} = {\frac{2}{n}}$ $r _{n}$$\displaystyle = \sqrt{\left( n - \frac{1}{n} \right) ^{2} + \left( 0 - \frac{\sqrt{3}}{n} \right) ^{2}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{n ^{4} - 2 n ^{2} + 4}}{n}$ 삼각형 $\mathrm{OP} _{\mathit{n}} \mathrm{Q} _{\mathit{n}}$의 넓이를 $S _{n}$이라 하면 $S _{n}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times n \times \frac{\sqrt{3}}{n}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2}$

삼각형 $\mathrm{OP} _{\mathit{n}} \mathrm{Q} _{\mathit{n}}$의 내접원의 중심에서 $x$축까지의 거리 $a _{n}$은 내접원의 반지름의 길이와 같다. $\displaystyle S _{n} = \frac{1}{2} \left( p _{n} + q _{n} + r _{n} \right) \times \mathit{a} _{n}$에서 $\displaystyle a _{n} = \frac{2 S _{n}}{p _{n} + q _{n} + r _{n}}$ $\displaystyle = \frac{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{n + \frac{2}{n} + \frac{\sqrt{n ^{4} - 2 n ^{2} + 4}}{n}}$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{3} n}{n ^{2} + 2 + \sqrt{n ^{4} - 2 n ^{2} + 4}}$ … ㉠

삼각형 $\mathrm{OP} _{\mathit{n}} \mathrm{Q} _{\mathit{n}}$의 외접원의 중심을 $\mathrm{C} _{\mathit{n}}$$\left( x _{n} , y _{n} \right)$이라 하면 점 $\mathrm{C} _{\mathit{n}}$은 선분 $\mathrm{OP} _{\mathit{n}}$의 수직이등분선 위에 있으므로 $\displaystyle x _{n} = \frac{n}{2}$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{OC _{\mathit{n}}}} = {\overline{\mathrm{Q} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}}}}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{OC _{\mathit{n}}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{Q} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}}}} ^{2}$이므로 $\displaystyle \left( \frac{n}{2} \right) ^{2} + y _{n} ^{2} = \left( \frac{n}{2} - \frac{1}{n} \right) ^{2} + \left( y _{n} - \frac{\sqrt{3}}{n} \right) ^{2}$ $\displaystyle \frac{n ^{2}}{4} + y _{n} ^{2} = \frac{n ^{2}}{4} - 1 + \frac{1}{n ^{2}} + y _{n} ^{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{n} y _{n} + \frac{3}{n ^{2}}$ ∴ $\displaystyle y _{n} = \frac{4 - n ^{2}}{2 \sqrt{3} n}$ $b _{n} = \left| y _{n} \right|$이므로 $n \geq 2$일 때 $\displaystyle b _{n} = \frac{n ^{2} - 4}{2 \sqrt{3} n}$ … ㉡ ㉠, ㉡에서 $L =$$\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n} b _{n}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{\sqrt{3} n}{n ^{2} + 2 + \sqrt{n ^{4} - 2 n ^{2} + 4}} \times \frac{n ^{2} - 4}{2 \sqrt{3} n} \right)}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{n ^{2} - 4}{2 \left( n ^{2} + 2 + \sqrt{n ^{4} - 2 n ^{2} + 4} \right)}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1 - \frac{4}{n ^{2}}}{2 \left( 1 + \frac{2}{n ^{2}} + \sqrt{1 - \frac{2}{n ^{2}} + \frac{4}{n ^{4}}} \right)}}$ $\displaystyle = \frac{1}{4}$ ∴ $\displaystyle 100 L = 100 \times \frac{1}{4} = 25$