미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

내접원 넓이 변화율

문제

한 변의 길이가 123\displaystyle 12 \sqrt{3}인 정삼각형과 그 정삼각형에 내접하는 원으로 이루어진 도형이 있다. 이 도형에서 정삼각형의 각 변의 길이가 매초 33\displaystyle 3 \sqrt{3}씩 늘어남에 따라 원도 정삼각형에 내접하면서 반지름의 길이가 늘어난다. 정삼각형의 한 변의 길이가 243\displaystyle 24 \sqrt{3}이 되는 순간, 정삼각형에 내접하는 원의 넓이의 시간(초)에 대한 변화율이 aπa \pi이다. 이때, 상수 aa의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 도함수의 성질을 활용하여 수학내적문제 해결하기 tt초 후의 정삼각형의 한 변의 길이를 xtx _{t}, 그에 내접하는 원의 반지름의 길이를 rtr _{t}라 하면, rt=36xt\displaystyle r _{t} = \frac{\sqrt{3}}{6} x _{t}, xt=123+33t\displaystyle x _{t} = 12 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} t이므로 rt=12+3t2\displaystyle r _{t} = \frac{12 + 3 t}{2} tt초 후 정삼각형에 내접하는 원의 넓이는 S(t)=π(12+3t2)2\displaystyle S \left( t \right) = \pi \left( \frac{12 + 3 t}{2} \right) ^{2}이므로 xt=243\displaystyle x _{t} = 24 \sqrt{3}일 때, t=4t = 4 S′(4)=2π(12+3×42)×32=36π\displaystyle S' \left( 4 \right) = 2 \pi \left( \frac{12 + 3 \times 4}{2} \right) \times \frac{3}{2} = 36 \pi이다. 따라서 a=36a = 36

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#변화율#내접원

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