내접원 넓이 비 극한

[출제의도] 삼각함수의 극한 이해하기

그림과 같이 원 $\mathrm{O} _{1}$과 직선 $\mathrm{AP}$와의 접점을 점 $\mathrm{Q}$, 원 $\mathrm{O} _{2}$와 직선 $\mathrm{AB}$와의 접점을 점 $\mathrm{R}$라 하고, 원 $\mathrm{O} _{1}$의 반지름을 $r _{1}$, 원 $\mathrm{O} _{2}$의 반지름을 $r _{2}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{QAO}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} = \cos \theta$, $\displaystyle \mathrm{\angle} QAO _{1} = \frac{\theta}{2}$이므로 $\displaystyle r _{1} = \cos \theta \tan \frac{\theta}{2}$이다. $\displaystyle \therefore f ( \theta ) = \pi \cos ^{2} \theta \tan ^{2} \frac{\theta}{2}$ 부채꼴 $\mathrm{OBP}$에서 $\mathrm{\angle} O _{2} OR = \theta$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OO}} _{2} = \frac{r _{2}}{\sin \theta}$이다. $\displaystyle \frac{r _{2}}{\sin \theta} + r _{2} = 1$이므로 $\displaystyle r _{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \sin \theta}$이다. $\displaystyle \therefore g ( \theta ) = \frac{\pi \sin ^{2} \theta}{\left( 1 + \sin \theta \right) ^{2}}$ $\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {\frac{g \left( \theta \right)}{f \left( \theta \right)}} = \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} \frac{\pi \sin ^{2} \theta}{\pi \cos ^{2} \theta \tan ^{2} \frac{\theta}{2} \left( 1 + \sin \theta \right) ^{2}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {} \frac{\sin ^{2} \theta}{\theta ^{2}} \cdot \frac{\frac{\theta ^{2}}{4}}{\tan ^{2} \frac{\theta}{2}} \cdot \frac{4}{\cos ^{2} \theta \left( 1 + \sin \theta \right) ^{2}}$ $= 4$